光学❝深掘り❞トピックス

光学設計ノーツ32.部分的コヒーレント結像の考え方　2
準単色光
前回から引き続き部分的なコヒーレンシーの扱いについて考える。
光学設計においては点光源から発した、純粋に単一波長の光波（光波が途切れず常に一定の波長の波が放射され続ける場合を表す。
波長が一定でも、放射がとぎれとぎれであったりすれば、それは周波数解析的に考えればいろいろな周波数の波動が含まれていることになる。）の振る舞いを考えるわけであるが、これは明らかにコヒーレントな光波の扱いである。
そして、それら点光源が多数集まり像を形成すると考えて良いのであるが、光学設計の多くの場合には、これ等の点光源、点像に関しては互い放射光に関して、その位相的には相関が無く、無秩序に発光し、互いに干渉しない、干渉縞など生成しない、と考えるインコヒーレントな物体面を想定する。
また、実際にその様な被写体が多く存在するわけである。
しかし良く考えてみると、光源内の2つの点光源同士の位相が一致しなくとも、それぞれから完全に単色の光波が出ていれば、波連は無限に続くわけであるから隣接光源同士の光波の位相関係は一定となり、観測に際しての時間平均をとっても、ヤングの干渉実験の如くに干渉が観測できることになる。
実際のインコヒーレント光源においては周波数幅をある程度もっていたり、波が断続的に放射されたりしてこうしたことは起こらない。
いずれにしても上述の通り、ある微小な周波数帯域、波長幅を想定しないとインコヒーレントな光源というものが成立しない。
そこで、“極微小な波長幅で色々な波がある程度混在している”、とすれば様々な組み合わせで若干波長が異なろうとも狭義の干渉が起こるのであるが、これ等の干渉状態は、波長が僅かにでも異なるので時間とともに変化し、時間平均の観測を経れば（広義の）これらによる干渉縞は現れないことになる。
また同一波長の光波同士も、初期の位相関係が波長ごとにランダムに異なればそれぞれ異なる位置にランダムに干渉縞が生成され、それら無数の縞が重なり合い干渉は観察できない。
また、上述の点対点の光源－像の関係を考えるときには、波長域が非常に狭いとすれば、これまで考えてきたコヒーレント結像の理屈が成り立つような都合の良い光波が想定出来れば良い。
これを準単色光と呼ぶ。以下、この準単色光について、そしてそこから得られる部分的コヒーレント結像の表現について考えよう。
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株式会社タイコ 牛山善太

光学設計ノーツ31.部分的コヒーレント結像の考え方 1
結像がコヒーレント、インコヒーレント、或いは部分的にコヒーレントか、如何なる状態において為されているかを考えることは、例えば面積的に広がりを持つ結像を扱う場合には非常に重要となる。近隣の点像同士の干渉を考慮せねばならないからだ。　
これまで考えてきた様に基本的な波動光学理論では、完全な単色光、あるいは完全な点光源を想定したり、（これは完全なコヒーレントな設定であるが）、これ等の光波が完全に位相関係を保ち像面に達するか、あるいはまったく位相的に無秩序に達するかどちらかの完全にコヒーレントな、あるいはインコヒーレントな両極端の状態を、瞬間的強度などという実際には測定のしようの無い量を用いて表現する。言わば端正な世界である。
しかし、本来はこうした完全な状態の光の場は存在せず、その中間の状態をとる。
この様なより一般的な状態を部分的コヒーレントな状態と呼ぶ。
部分的コヒーレントな状態は、斯様に必ずある程度の大きさをもった光源、ある程度広がりをもった波長域における光波を対象にし、実際に測定にかかる物理量を基にして考察されることとなる。以下は重に参考文献１）に沿って解説させていただく。
1.コヒーレンシーの表現について　
　図1にあるように大きさを持つ非単色光源により照明される遮光面上のピンホールQ1、Q2、そして観測点Qを考える。
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光学設計ノーツ30.幾何光学的OTFについて
本連載において何回かOTF,MTFについて触れさせて頂いてきたが、ここでは幾何光学的近似の下でのOTFについての基本的な内容について触れさせていただこう。
その適用に際しては様々な限界は勿論あるものの、幾何光学的近似による計算の簡便性だけでなく、瞳収差の影響を受けない、直ちに光軸に直交する平面上で総ての像高での計算を出来るなど、計算経済性の面においては非常に優れた面を持っている。
現在でも光学設計において最も重要な総合的評価手法の一つである。
1.スポットダイヤグラム、幾何光学的強度の法則によるOTFの計算
幾何光学的にしろ、波動光学的にしろ何れかの手段で像面上の点像強度分布I(x,y)が得られれば（５）式によりOTFを計算することができる。
ここでは、本書においてここまでにたびたび取り扱ってきたスポットダイヤグラムを用いて、最も多く光学設計において用いられているであろう、所謂幾何光学的OTF、OTFG(s,t)を算出する方法について考えよう。
ここで光学系の瞳の面積をAとして、瞳上の単位面積を通過するエネルギーを均一に１とすれば、光学系を透過する全光量はAであり、スポットダイヤグラムより得られる強度分布（像面単位面積あたりに到達するエネルギー）をIｐ（x,y）なる関数で表すとすれば、本連載２４回（９）式より
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光学設計ノーツ29.軸外結像におけるフラウンホーファー回折像について　
本連載、前回においては無収差結像光学系による結像がフラウンホーファー回折像と成ることについて触れたが、今回は一般的な画像評価のために繋がる、軸外結像におけるフラウンホーファー回折像について考える。
全画面、無収差結像の光学系においても、一般的な構造の光学系では、軸上に較べ、軸外における解像力は低下することが分かる。
１.結像光学系の瞳関数
これまで用いられてきたg(x0,y0)は、スリットの形状を含め、スリット上の振幅、位相変化などの複素振幅を表す。
これを瞳関数(pupil　function)と呼んだ。
この瞳関数g()にスリットの情報のみならずレンズ系透過の際のさらなる情報を含めることができる。
それらは例えば、レンズの瞳形状であり、瞳上フィルターの透過率の情報である。
そしてこれが非常に重要であるが、こうした瞳形状、瞳上フィルター、あるいはレンズの位相変換機能（平面波を球面波に変換する様な）以外の場合の、レンズ透過の再に生じる位相ずれを瞳上の関数として考慮することができる。
これはまさしく収差そのものである。
収差によって生じる位相ずれを、無収差の場合の参照球面との光路差として示したのが、波面収差であるから、瞳関数に波面収差を直接用いることにより、収差を持つ光学系の結像をフラウンホーファー回折像として評価可能となる。
瞳関数の一般形は以下の様に表現出来る。
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光学設計ノーツ28.結像光学系によるフラウンホーファー回折像　
波長0.0005mmを想定して、レイリーの距離を用いれば、その値は、小さい領域で例えばスリットが0.001mm角、つまりD=0.001mmという回折格子のオーダーでZ=0.002mmとなり、D=0.01mmという大き目の粒子のオーダーでは、0.2mmとなる。
この様な領域で観察される回折は通常、フラウンホーファー回折領域のものであることが前回（本連載第27回）の議論からも分かる。
ところが、比較的大きな開口を考えると、例えばD=1の場合、ｚ＝2000mmとなる。
つまり2ｍである。
これはかなり長い距離であるが、D=５mmのさらに大きい開口を考えれば、限界はZ=50mというとんでもない距離になる。
大きな開口によるフラウンホーファー回折像の観察は通常の研究室では不可能であるということになる。
しかしこの困難をレンズを用いて乗り切ることが出来る。
ここでは、少し詳しくこのレンズの作用について考えてみよう。
当然、光学設計を前提にする場合には波動光学中でも重要な検討である。
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光学設計ノーツ27.フレネル回折とフラウンホーファー回折　
今回は、回折現象を解析的に取り扱う上で基本となるフレネル回折とフラウンホーファー回折を取り上げさせていただく。
レンズ等による結像を考える際にも重要である。
1.フレネル回折式とフラウンホーファー回折式の導出　
ここでフレネル-キルヒホッフの回折積分式を用いてこれらの回折強度パターンについて検討してみよう。
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光学設計ノーツ26.OTF計算における振動、位相とび等について考える
今回は引き続き結像の評価の要となるOTF、MTFそしてPTFについて考える。
ここではより具体的に、OTFの計算過程において一旦０になり、またレスポンスが現われたりするMTFの振動、そして（PTFの）位相飛び、偽解像等の通常レンズ設計時にはあまり問題視されないが、しかしちょっと気になる現象について解説させて戴きたい。
1.MTF、PTF計算の復習
本連載前回において正弦波像の結像の表現について記した。
今回においては論理的に拠り所となる所であるから、要点を新たに整理し、復習すれば（導出の詳細は前回をご参照願いたい）、光学系の点像強度分布（以下PSF）をI(x)とする時、・・・・
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光学設計ノーツ25.結像の評価　正弦波格子チャートとMTF
今回は正弦波状の格子チャートの光学系による結像を例にとり、OTFそしてMTF、PTFの特質について解説させていただきたい。
1．正弦波格子チャートと線像強度分布の畳み込みにより像強度分布を得る。
ここで任意の周波数ｓを持つ、正弦波格子に着目してみると、この正弦波格子模様に直角方向にｘ座標を採り、この方向の座標に対する物体の１次元の強度分布を考えると、格子模様が乗る、平均的バックグラウンドの明るさをa、正弦波格子の最大振幅をmとすれば、一般的に、物体の強度分布O(x)は…
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光学設計ノーツ24.結像の評価　MTF
写真レンズなどの光学系の結像性能を表わす場合に、解像力とは良く用いられる言葉であり、一般的には、設計値あるいは実測値において、この解像力が高い値を示す場合ほど、そのレンズの性能は高いと考えられている。
白黒の細かい線が、一体どのくらいの細さのものまで、その光学系により再現可能かを示す指標が解像力である。
実際には1mmの中に細かい線が何本解像されているのか、ミリ10本、ミリ100本などの様に言われ、表現される。
この解像力、あるいはその表示方法は直感的に理解し易く、また測定によって実測値も簡単に得られるので、非常に広く光学系の性能を表わす仕様として用いられている。
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光学設計ノーツ23.フェルマーの原理から得られること 3
今回も、前回に引き続き“フェルマーの原理から得られること”について記させていただきたい。
ここでは前回における屈折率分布媒質内での光線追跡手法について更に考える。
式、図番等は前回から連なっている。
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