光学❝深掘り❞トピックス

光学設計ノーツ52.最適化とは、ニュートン－ラフソン法の応用について
光学設計における最適化について前回から触れさせて戴いているが、今回は勾配法より効率の良い、ニュートン－ラフソン（Newton-Raphson）法(あるいは単にニュートン法とも呼ばれる)について解説させていただきたい。
関数化された対象を扱う場合の最適化手法としては大変重要なものであるが、この関数化の部分が、この手法をレンズ設計に持ち込むためのネックとなる。しかし、後述させていただくことになる減衰最小二乗法などの構造もそこから理解しやすくなる。
1.１次元の場合のニュートン－ラフソン法の応用
関数f(x)が、１回微分f’(x)のみならず２回微分f’’(x)が可能なものである場合、前回の勾配法よりも効率の良い最適化手法としてニュートン－ラフソン法を応用したものがある。
点x0近傍の点x0＋△xでは、以下如くにのテーラー展開が可能である･･･。
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株式会社タイコ 牛山善太

光学設計ノーツ51.最適化とは、そして勾配法について
光学設計における最適化とは、所謂、自動設計を指すことが多いが、前回触れさせて戴いた画像復元においても最適化の理論が適用される。
今回は、現代的な光学設計において、様々な場面で、非常に重要な役割を果たす最適化について考えさせていただきたい。
1.最適化とは
光学設計にかぎらず数学的にも用いられる最適化という言葉であるが、その意味は光学設計においてのみならず、数学的には、“与えられた制約条件のもとに、ある関数の最大値、あるいは最小値を齎す、変数の値を求めること”
を言う。
従って、光学設計において収差の表す総合関数の最小値を求めようとすることはこの意味でも正しく最適化である。
また、前回触れさせて戴いた画像処理の場合にも･･･。
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光学設計ノーツ50.デジタル画像の性質について（ver.1.0）
　今回は、これまでとがらりとテーマを変えて（本当は繋がっていますが）、所謂デジタル画像というものの性質について考えさせていただきたい。
デジタル画像とはccdやcmos等の離散化された画素を持つ撮像素子を用いて、そこから得られる離散化された情報の塊としての画像を表すものとする。
　
1．Digital to Digitalの場合の簡単な考察
ここでは最も基本的なものとして、非常に簡単なシステムを考える。
Digital to Digitalであって、離散化された原稿、被写体を、離散化された像面に結像させる場合を考える。
原稿の画素を2個、受光面の画素も2個とミニマムの場合を想定する。
ここで、光学系により原稿の画像が結像しているとする。
その場合、レンズによって、ある任意の画素jから出てレンズを透過する1というエネルギーが、像面上のどこかの画素kにどのくらいのエネルギーとして分散して到達しているかという分布を･･･
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光学設計ノーツ49.幾何光学照度分布計算においての留意点
前回では波面収差と光線収差の関係を表わす式を用いて、光束の集光密度を計算し、波面収差から像面上の照度分布を求めた。
任意の次数の、任意の収差の存在する場合の照度分布を得ることができ、そこで得られる数式は、スポット・ダイヤグラムの様な計算機実験的な結果からではなく、幾何光学的強度の法則に基づく解析的な照度分布を直接表わしていた。
しかし同時に、光学系が無収差でなくとも、開口上の通過座標とともに変化する収差図形の動きが折り返す際に発生する火線（caustic）等において照度が無限大に発散してしまうなど、本来起きるはずの無い幾何光学独特の不都合も観察された。
今回はこうした幾何光学理論を背景として実行される照度分布計算、そしてOTF計算などの限界などについて考えさせていただきたい。
１．照度分布図上の発散
２．幾何光学的OTF計算についての考察
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