光学設計ノーツ

光学設計ノーツ 1

閉じられた系における光波の振る舞い

光学設計に関連した、光学的トピックをこれから、ここに記させていただこうと思う。

より単刀直入に言えば、光学設計者である私の興味のある内容、或いは改めて整理をして

おきたい内容を系統的にではなく、自由にこの場をお借りして書かせて戴こうと言う心積

りである。浅学な著者による、甚だ恣意的なトピックの選択に過ぎるやもしれないが、イ

ンターネット上においてのみ容易い形式でもあろうし、これらのノーツのどこかで共感を

お持ちいただき、少しでも御付き合い戴ければ幸いである。

さて、第一回目として今回は、光波の伝播において重要な概念・モードを考える上で

基本と成る定在波（定常波）から記述を始めさせていただこう。

1. 定在波

波動の一般的な形は進行波（x>0 方向に進む）と後退波（x<0 方向に進む）により以下

の様に表せる。

  





vtxgvtxftx









（１）

この波が両端（幅 L）、固定された弦の振動の様な物と考え、固定された両端で反射されて

いるとする。まず、一つの端、

ｘ

＝０では変位が０であるから、

   

0,0







vtgvtft



  

vtfvtg 



従って、如何なる

ｔ

に対しても上式は成立せねばならないから、任意の値αに対して

  



 fg であって、







とすれば(1)式は

  





vtxfvtxftx









（２）

とも書ける。(2)式右辺の二つの波は形状が y軸、x軸に対して互いに反転した、それ以外

は等しい形の波である。

さて、x=0 端においては正弦波を

  









 taytf cos

とすれば、(2)式より













 





































tatatatat coscoscoscos,0

さらに(1)式と比較すると x=0 の固定端では進行波と後退波（x=0 点で反射される入射波と

後退波とも考えられる。）の位相はπずれることが分かる。

さて、もう一方の固定端でも同様に

  













vtLfvtLftL



（３）

である。

ここで、 k







 2なので複素表示を導入して正弦波による

   

tkxivtxivtxf



















 exp

exp

となる最大振幅 1の平面波を波動として考えれば(2)式は、k=2π/λとして、

  

















ikxikxtitkxitkxitx 







 expexpexpexpexp,





 

kxiti sin2exp 



（４）

となる。この波は、全ての

ｘ

座標において各周波数ωで振動する波であり、その振幅は

ｘ

に依存し、sin(

)=0 の場所では常に時間に依存せず振幅φ＝0となり、節となる。この波

動は(2)式、或いは(4)式で表される、向きは異なるが、切抜きと考えた場合の基本形状は等

しい 2つの進行波と後退波の合成によって表され得るものである。両端が固定されている

場合には、（３）式から sin(

)=0 であらねばならないので、



mkL  （ｍ：整数）（５）

が常に成り立たなければならない。この

の間隔の中に波は常に整数倍の山、あるいは谷

を持つことになる。もしこれ以外の波が初期的に存在していたとしても、固定端から反射

される（５）を満たす波に吸収されてしまい、安定した節を持つ、(4)式で表される定在波

（或いは定常波）となる（図 1）。角周波数はω＝

、（５）式より

ｍ

πｖ/

となり、

ｍ

に

依存したとびとびの値を持つ。これらの波動は

ｍ

の違いによりモードが異なる波と呼ばれ

る。

この様に閉じられた系においては、波動の互いの干渉により存在できる波動の形が制限

され、その具体的な形として各モードの波動が派生する。このモードの概念は、レーザ発

振（金属反射面の場合には電場は０となり節となる上記定常波と同じ性質の波が発生する）、

光ファイバー、導波路などの部分的、或いは方向的に閉じられた系に於ける光波を考える

場合に重要なものとなる。光学設計で一般的に扱う、自由空間伝播系においての光波の挙

動を考える場合には存在しない概念である。

２．ある角度をもって交わる２つの平面波の干渉

ここでは、ある角度（

ｘ

軸と為す角度θ）をもって、振幅（A）も角周波数（ω）も等

しい二つの平面波が交わる場合を考えよう（図 2）。すると合成波は、



















trkiAtrkiAtyx







21 expexp,,



 









sincosexpsincosexpexp ikyikxikyikxtiA 













tkxikyA







 cosexpsincos2 (6)

となる。

方向について(6)式を見ると、明らかに

sinθ=(2

-1)π/2 (7)

の時に節をもつ定在波が現われている。

ｘ

方向には位相速度が 1/cosθ速まっただけの一般

形の正弦波が進行する。この正弦波が

方向には(6)式で表される

方向には固定された振

幅のウエイト関数を伴って伝播すると考えられる。従って、ある時間内で強度平均して考

えれば(7)式で決まる位置にλ/(2sinθ)周期の節（強度０の部分）を持つ干渉縞が観察され

る。

３. スラブ導波路における定在波

2次元的に、x-z 方向には均質な広がりを持つ、3層のスラブ導波路を考えた場合（図 3）、

光波は屈折率の高いコア層内を全反射しながら進む。

ｘ

方向には系は閉じていないので全

反射条件を満たす入射角度範囲の光波は、この方向についてのみ考えれば全て導光されて

行く様に見える。しかし、

ｙ

方向には低屈折率のクラッド層により、全反射する光波の

ｙ

成分は封じ込められている。従ってビーム径がコア厚に近い大きさであれば、上記２節に

おけるように、光波の

ｙ

方向成分について考えると、境界に入射する光波と、そこで反射

する光波とで両側のコア境界からそれぞれ微少量

δ、クラッド側に入り込んだ位置を節と

する定常波が発生する。定常波はこれら節を(4)式於ける、

=0,

の位置として、(5)式で

定まった状態をとらねばならなく、自由に全反射を利用して光波が入射・伝播出来るので

はなくコア、クラッドの屈折率、寸法、波長、入射角度などが一定の条件を満たす必要が

出てくる。それらの値により導波路中の電磁界分布のモードも定まる訳である。

参考文献

１）大坪順次：光入門（コロナ社、東京、2002）

２）櫛田孝司：光物理学（共立出版、東京、1985）

３）国分泰雄：光波光学（共立出版、東京、2003）