光学設計ノーツ２５（ver.1.0）

結像の評価正弦波格子チャートと MTF

今回は正弦波状の格子チャートの光学系による結像を例にとり、OTF そして MTF、PTF

の特質について解説させていただきたい。

１．正弦波格子チャートと線像強度分布の畳み込みにより像強度分布を得る

ここで任意の周波数ｓを持つ、正弦波格子に着目してみると、この正弦波格子模様に直角方

向にｘ座標を採り、この方向の座標に対する物体の１次元の強度分布を考えると、格子模様が乗る、

平均的バックグラウンドの明るさを

a

、正弦波格子の最大振幅を

m

とすれば、一般的に、物体の強

度分布

O

(x)は



sxmaxO



2cos



 （1）

と表現できる。ここで、１次元における光学系の結像による線像強度分布 LSF を

I

(x)と記せば、（1）

式で表わされる被写体の、光学系による等倍結像の強度分布

P

(x)は、（1）式と

I

(x)が畳み込まれる

ことによって(図 1)

  



  iii dxxIxxsmaxP



2cos （2）

となる。ここで





 1

ii dxxI （3）

として、正規化すると三角関数の加法定理から

  



  iiii dxxIsxsxmsxsxmaxP }2sin2sin2cos2cos{



 

 





  iiiii dxxIsxsxmdxxIa



2cos2cos





  iii dxxIsxsxm



2sin2sin





  iii dxxIsxsxma



2cos2cos





  iii dxxIsxsxm



2sin2sin (4)

さらに





  iii dxxIsxC



2cos

（5）





  iii dxxIsxS



2sin

と置けば、オイラーの公式より







iii sxisxisx



2sin2cos2exp



 （6）

なので、

C

,

S

は

I

(

x

i

)のフーリエ変換のそれぞれ実部、虚部である。

(5)式より（4）式は













 sx

C

S

sxmCaxP



2sin2cos

C

S





tan と置けば、さらに

 





sin2sincos2cos

cos  sxsx

mC

axP







 sx

mC

a2cos

cos







 sxmCa 2costan1 2

よって









 sxSCmaxP 2cos

22 （7）

ただし

C

S

1

tan





２．正弦波格子像とコントラスト、そして MTF

上記（7）式より、正弦波格子

O

(x)の像

P

(x)は、やはり正弦波格子であり、その周波数は物体と

同じであるが、振幅が元の 22 SC 倍になり、位置が初期位相項の影響分だけ横に移動し

ている事が分かる(図 2)。

元信号とのピークのずれ量、つまり

P

(x)における原点から位相が０の位置までの距離は、２

sx

－=0 より

s

x





2

 （8）

となる。明らかに、(5)(6)式から、I(xi)のフーリエ変換を考えれば

       

iiiiiii dxsxisxxIdxisxxI }2sin2cos{2exp



  







iSC





となり、上式左辺は(3)式においての LSF の正規化を前提としているので、１次元における OTF の

定義（連載前回(9)式参照）であり、従ってその絶対値 22 SC はMTFであり、はPTFそのも

のである。

像の周期内の最大強度を

I

max、最小強度を

I

min とすれば、結像のコントラスト（contrast）或いは

モデュレーション(Modulation)、Ctは以下の様に定義される(図 3)。

minmax

II

Ct



 （9）

この定義は、以下の如くに、バックグラウンドの平均的明るさと、像強度の振幅の比を表わして

おり



minmaxmin

minmax

2

1

2

1

III

II

Ct





光量の絶対値に左右されず、結像の鮮明さを表わす。図 2 における正弦波物体と像におけるコント

ラストの比を(9)式から計算すると









a

m

SC

a

m

xOC

xPC

t

t22 

となり結果は MTF そのものを表す。

３．参考文献

１）小瀬輝次：フーリエ結像論（共立出版社、東京、１９７９）

２）草川徹：レンズ設計者のための波面光学（東海大学出版、東京、1976）

３）牛山善太、草川徹：シミュレーション光学（東海大学出版会、東京、2003）