光学設計ノーツ２６（ver.1.0）

OTF 計算における振動、位相とび等について考える

ここではより具体的に、OTF の計算過程において一旦０になり、またレスポンス

が現われたりする MTF の振動、そして（PTF の）位相飛び、偽解像等の通常レン

ズ設計時にはあまり問題視されないが、しかしちょっと気になる現象について解

説させて戴きたい。

1. MTF、PTF 計算の復習

本連載前回において正弦波像の結像の表現について記した。今回においては論

理的に拠り所となる所であるから、要点を新たに整理し、復習すれば（導出の詳細は前回

をご参照願いたい）、光学系の点像強度分布（以下 PSF）を I(x)とする時、





  iii dxxIsxC



2cos

（25-5）





  iii dxxIsxS



2sin

と置くことによれば、(25-5)式より正弦波チャート像を表す畳み込み積分式

  



  iii dxxIxxsmaxP



2cos （25-2）

は以下の関数で表現できた。













 sx

sxmCaxP



2sin2cos （１）

この段階ではフーリエ変換という概念は持ち込んでいない。ここでは正弦波の周波数をｓ、

平均的バックグラウンドの明るさを

、正弦波格子の最大振幅を

としている。さらに





tan （つまり C

tan





） (2)

と置いて、(1)式は









 sxSCmaxP 2cos

22 （25-7）

と成ることが分かった。つまり、(25-5)で表される C,S が得られれば正弦波結像の状態は総

て分かってしまう事になる。元の正弦波物体の表現は



sxmaxO



2cos （25-1）

であるので、正弦波物体と像の最大振幅比は 22 SC であり（MTF）、位相差は

（PTF）で直接表される事がわかる。(25-5)式における二つの関数はオイラーの公式より













iii sxisxisx



2sin2cos2exp







（25-6）

としてまとめて考えた複素座標空間上の関数の積分の実数部、虚数部として表現する事

が出来る。MTF はこの複素空間における積分結果の複素数の大きさであり、PTF は方位

である。





 1

ii dxxI （3）

とエネルギーを正規化しているなら OTF の定義（第 24 回 9 式）から一次元で考えて

    

iii dxisxxIsOTF



2exp  





 

iiii dxsxisxxI }2sin2cos{



 



iSC  （4）

であり、さらに

 



iSCsOTF exp

22  （5）

或いは















siPTFsMTFsOTF exp



 （6）

とも表現できる。

2. MTF 計算結果における振動について

ここで、PSF 中心を像面座標の原点と於いて考えてみよう。(2)式より S=0 の時のみ

PTF は０とπの整数倍となる。Sin は奇関数であるので、I(x)が遇関数であればそれらの積

の積分は必ず０となり(2)式より PTF の値は 0 もしくは整数πとなる。観測する断面内にお

いて線対称的な PSF に対して位相、PTF は０かπの整数倍の不連続な値しかを持たない

(図 1)。非対称な PSF の時のみ S が値を持ち PTF がその他の中間の連続的値を採り得

る。

ここで、簡潔のために対称形の PSF を考えれば、S 成分は無視できる訳であるから C

についてのみの OTF、MTF の影響について考えれば良い事になる。また、PSF をさらに簡

便のため図 2 の様な矩形関数と置けば、任意の周波数を持つ正弦波に対応する C は図

2 の様な関数の積関数の積分となる。

ここには 3 種類の PSF が描かれていて(3)式の通り、それぞれ面積は 1 である。PSF１

と正弦波との積の関数は積分に際し中央部分だけ残る事になり確かにはっきりとした値を

持つ。これが一般的に有効な MTF計算値の基と成る。そして PSF の範囲が可也広がった

場合の（所謂ボケた場合の）PSF２を考えると、もし図の通り PSF2 が正弦波の 1 周期分と

等しい幅を持つとすれば、2 関数の積の積分は０となってしまう。確かに物体構造の細かさ

と、PSF２の大きさを比べると直感的にも解像するのは難しそうだと言う事が感じられる。とこ

ろが、更に極端に広がった PSF3 を考えると、正弦波周期の整数倍の長さとの差の分、

A+A’の範囲において C は値を持つことが分かる。勿論、さらにボケている分だけ PSF のｙ

方向の値は小さくなり、微小な寄与しかしないが、C、そして MTF 等にレスポンスを齎す。

MTF 計算において、一旦値が０に成りながら、さらに高周波の領域で値が復活したり

して振動し減衰していくのはこの様な理屈による(図-3)。そして（２５－７）式により、この様

な注目する被写体構造に比べてかなり大きなボケを持つＰＳＦによって齎されるＣの値が

微々たるものとはいえ再生像の最大振幅、そしてＭＴＦに何らかの影響を与える事は明ら

かである。

３．所謂、偽解像と呼ばれる現象

さてここで、図 4 にある様な PSF4 を考える。

この PSF は上述の通り C=0 となる PSF2

が更に若干ボケて広がったものである。明らかに積分領域は正弦波振幅の負の領域に達

しており、S は０であるから、(4)式より OTF(s)は実数の負の値をとる。この OTF は(5),(6)式

で等価に表現できる訳であるから、MTF は常に正であるので、exp(

iφ

)は-1 と成らねばな

らない。つまりφ＝

ｋ

π（

ｋ

は奇数）である。





0exp

2



iCOTF

ただし

tan  C



である。

結局、ｓが高周波数に成るに連れて PSF2 と cos(2πs)の関係が実現されるところで

MTF は０になる。ところが PSF4 の様に再び C が値を持ち始めたときには位相がπの奇数

倍だけ飛んでいる事になる。再現される正弦波像の初期位相が実質πだけずれる事にな

る。これは本来なら正弦波像の明るくなる場所と暗くなる場所がちょうど半波長ずれる事に

より、入れ替わってしまう事を意味する。明暗が反転してしまうので、これを“偽解像”と呼ぶ

場合もある。ただ、正弦波像の位相がズレただけなのであるから、（しかも後述の様に、また

元に戻る）ちょっと大げさすぎる呼び名である感は否めない。

またさらにPSF3の様なC=０となる関係を過ぎOTFが正の状態に戻れば、また新たに

位相がπずれることになる。ただこの場合は 2

ｋ

πとなるので明暗は元に戻る。

４．非対称性収差と PTF

ここまで、簡単に考えるため対称型の PSF を考えたが、一般的な共軸光学系におい

ては PSF・点像強度分布はメリディオナル方向については非対称性を持っている。この非

対称性が大きくなるとき PTF は無視できない大きさの、０もしくはπの整数倍以外の連続

的な値となる。それではどのような時に点像強度分布の対称性が大きく損なわれるのであ

ろうか？それは明らかに 3 次収差論的に表現すれば大きなコマ収差、倍率の色収差など

が存在よる場合が考えられよう。（また PTFは点像強度分布の非対称性、単波長、或いは

色収差が良好に補正されている場合に特にコマ収差の程度を表わす指標と考える事も

出来る。）

この非対称性の顕著さも、対象となる正弦波の周波数により変化する事は当然である。

ｓより遥かに大きな周波数領域での非対称性（つまり細かい非対称性）では全体での積分

にはあまり寄与しないであろう。相対的に低周波数領域における非対称性が重要なので

ある。したがって相対的に正弦波物体の周波数が高い領域において PTF は顕著な値を

持ちやすい。

PTF の画像への影響はさらに詳しく参考文献４）において触れた。また、本連載におい

ても取り上げさせていただく予定である。

５．参考文献

１）小瀬輝次：フーリエ結像論（共立出版社、東京、１９７９）

２）草川徹：レンズ設計者のための波面光学（東海大学出版、東京、1976）

３）早水良定：光機器の光学(日本オプトメカトロニクス協会,1995)

４）牛山善太、草川徹：シミュレーション光学（東海大学出版会、東京、2003）