光学設計ノーツ ２７（ver.1.0）
フレネル回折とフラウンホーファー回折
レンズ等による結像を考える際にも重要である。
１． フレネル回折式とフラウンホーファー回折式の導出
ここでフレネル-キルヒホッフの回折積分式を用いてこれらの回折強度パターンにつ
いて検討してみよう。
図1に有る様に、光源 P0から発生する球面波の表面を Kとし、波面に達す
る光線の方向を表す単位ベクトルを
r
、この光線が波面に達する点 Qにおける波
面法線単位ベクトルを
n
、この点 Qから振幅を計算したい点 Pに向かう方向を
表す単位ベクトルを
s
とする。当然、P0は波面の中心であるから
n
と
ｒ
は一致
する。また P0 から Qまでの距離をｒ、Qから Pまでの距離を sとする。さらに、
図の様に
n
と
s
の為す角度の差として χ なる量を導入すればフレネル-キルヒホッ
フの回折積分式は波面表面 K 上の積分として以下のように表わされる。A は波面
上の最大振幅を表す係数、σは波面上の微小面積である。P0から Q まで、Q から
P までの距離をそれぞれ
r,s
として
 

d
s
iks
r
ikriA
PU 
cos1
expexp
2 (0)
さて、ここでχについて考えると、この値は点 Qにおいて波面に直交する光線
と、Qから発生する２次波面の影響、つまりは回折の影響を調べる方向の為す角
度を示している。ここでの絞り上にはレンズも何も存在しないので明らかに点 Q
を通過する光線の方向に大方のエネルギーは集中し、χが大きな、光線から大き
く逸れた方向への影響は少ないと考えることも出来る。従ってχは十分小さな値
の範囲で積分への寄与は有効であると考えられ、また開口の大きさ Dが、つま
りx0,y0の最大値が、r0、sに比べ十分に小さいとすれば、さらにχは exp 内に含
まれないので、cosχ→1 と出来て(0)式は、
 
d
s
iks
yxg
i
PU 
exp
,00 -(1)
ただし、ここで、この場合に
ｇ
は、(0)式より
r
ikr
Ayxg exp
),( 00 -(2)
であり、スリット上の位相も含めた複素振幅分布を表わす。一般的には光学系透
過の際に被る振幅、位相変化等を織り込んだ任意の分布を想定することが可能で
ある。
(1)式はフレネル-キルヒホッフの回折積分式をシンプルに表現し、実用的にした有
益なものであり、コンピュータを用いた数値解析においてはこのままの形式でも十分利用
可能であるが、より物理的な洞察に有利な、見通しの良い形にするためにさらなる適切な
近似が行われる。
(1)式をスリット面上（
x
0-
y
0系）、スクリーン上（
x
-
y
系）の
ｚ
軸を共通とする二つの直交
座標系上に書き換えると、
 

0000
exp
,, dydx
s
iks
yxg
i
yxU
-(3)
ここで明らかに、

2
0
2
0
2
0yyxxzzs -(4)
ところが、



2
1
2
0
2
0
2
0
01
zz
yyxx
zzs -(5)
となるので、Taylor 展開の２次の項をとって近似すると、

2
2
1
11
mm
m
m -(6)
の関係が成り立つので(5)式は、



3
0
2
2
0
2
0
0
2
0
2
0
08
}{
2zz
yyxx
zz
yyxx
zzs
ここで、
3
2
2
0
2
0
2
0
2
0
08
)(
2r
yx
r
yx
z
であって、この式において既述の様に開口の大きさに関する
x
0,
y
0が
r
、
s
に比べ
十分に小さいのであり、さらに、cosχ→1 と出来るほどに P に影響を及ぼす波面
上の領域が限られたものであるとすれば積分中、exp 項内での z0の値はそう変化
しないことになる。また下記で扱う回折近似領域では特に z0<<ｚであって、以降
z0の値を無視することとする。
すると
ｓ
3
2
2
0
2
0
2
0
2
000
22
8
}{
22
yyxx
yx
yyxx
yx
z
-(7)
-------------------------------
フラウンホーファー近似
------------------------------------------
フレネル近似
と表現できる。（7）式における近似をどの項まで用いるべきかはスリット-スク
リーン間の距離
ｚ
に依存し、第３項まで採用し、その後の項を打ち切れる領域を
遠方領域、或はフラウンホーファー領域、第４項までを採用し、その後の項を打
ち切る領域を近方領域、或はフレネル領域と呼ぶ。
(7)式の第３項までを
T
3、第 ４ 項 を
T
4、第５項を
T
5と表し、ｓが
x,y,x
0
,y
0
,z
0
と比べて十分に大きければ(3)式の exp 項の分母の
ｓ
を定数
ｚ
と近似して積分外
に出し、
 

0054300 expexpexp,, dydxikTikTikTyxg
z
i
yxU
と置く。或いは
x
,
y
に
ｓ
、Dに比べて十分に大きな値を想定すれば、線分 QP が
光軸となす代表的な角度をδとして、少なくともｓ≒z/cosδとすべきであるから
 

0054300 expexpexp,
cos
,dydxikTikTikTyxg
i
yxU
-(8)
と出来、以降こちらの式を採用することにする。
するとこの時もし、少なくとも
kT
5π/2 であれば、この項による位相変化分
はλ/4 以下であり、これを最大値として瞳上座標の変化に伴いこの項による位相
変化分は連続的に減少する。従ってπ/2 を区切りと取りあえず考え、この値より
も遙かに小さな値をｋT5 項に求めれば全体の積分に対する大きな影響は持たな
くなると考えることも出来よう。すると、以下の様に(7)式からﾌﾚﾈﾙ近似の条件
として、

2
}{ 2
max
2
0
2
0
3yyxx
z
 -(9)
との目安を得る事ができる。
フレネル回折近似式は、
  

00
2
0
2
000 ]
2
exp[,exp
cos
,dydxyyxx
ik
yxgikz
i
yxU
-(10)
さらに整理して、
 

00
22
,
2
expexp
cos yxg
z
yx
ikikz
z
i
00
00
2
0
2
0exp
2
exp dydx
z
yyxx
ik
z
yx
ik
-(11)
となる。
さらに、
T
4の項について考えると、この項には像面座標が含まれていないの
でｚ→∞であれば（既述の条件から光源位置も無限遠となる。）この項を（11）
式から消去して考えることが可能であるが、有限な
ｚ
の値に対しても
T
5と同様
に
kT
4π/2 なる条件を考えると、
max
2
0
2
0
2yx
z
 -(12)
が
T
4項の省略のための条件の目安となる。ここで、スリットを長さ
D
の正方形
とすれば(12)式より、
2
D
z -(13)
なる条件が得られる（レイリーの距離）。ここで定められる領域をフラウンホー
ファー領域と呼ぶ。これらの条件下におけるフラウンホーファー回折近似式は
  

000000
22
exp,
2
exp
cos
,dydxyyxx
z
ik
yxg
z
yx
zik
z
i
yxU
-(14)
となる。
ここで、波数
k
=２/であるので、（14）式において、
z
x
x 、
z
y
y -(15)
スクリーン上の観測点座標をスリットと観測面の距離で正規化し、波長で割り、
空間周波数を設定すれば（14）式は、



000000 2exp,,)(),( dydxyxiyxgAUyxU yxyxyx
-(16)
ただし、
z
yx
zik
z
i
A2
exp
cos 22
-(17)
である。(16)式は明らかに 2次元のフーリエ変換の形であり、フラウンホーファ
ー回折像複素振幅分布はスリット（射出瞳）の振幅分布
ｇ
()のフーリエ変換で得
られることが理解できる。射出瞳中心から Pまでの線分の光軸となす角度の
ｘ
、
ｙ
成分をそれぞれθx、θyとすれば(15)式は
x
x
tan
、
y
y
tan
-(18)
と出来る。フラウンホーファー回折像振幅分布計算においては瞳から測定点への
方向が定まると、(16)式のフーリエ変換の結果は決まってしまうことが分かる。
因みに(18)式から(17)式は以下の様にも表現できる。

2
tan
2
tan
1exptantan1
2
2
2
1
22 y
x
yx ikz
z
i
A
-(19)
２． 参考文献
１） M.Born & E.Wolf : 光学の原理Ⅰ、第 7版／草川徹訳（東海大学出版会,2005)
２） 辻内順平：光学概論Ⅱ（朝倉書店、東京、1979）
３） 鶴田匡夫：応用光学Ⅰ（培風館、東京、1990）
４） 宮本健郎：光学入門（岩波書店、東京、1995）
５） 牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス社、東京、2005）