光学設計ノーツ ３０（ver.1.0）
幾何光学的 OTF について
本連載において何回か OTF,MTF について触れさせて頂いてきたが、ここでは幾何
光学的近似の下での OTF についての基本的な内容について触れさせていただこう。その
適用に際しては様々な限界は勿論あるものの、幾何光学的近似による計算の簡便性だ
けでなく、瞳収差の影響を受けない、直ちに光軸に直交する平面上で総ての像高での計
算を出来るなど、計算経済性の面においては非常に優れた面を持っている。現在でも光
学設計において最も重要な総合的評価手法の一つである。
1. スポットダイヤグラム、幾何光学的強度の法則による OTF の計算
幾何光学的にしろ、波動光学的にしろ何れかの手段で像面上の点像強度分布
I
(x,y)
が得られれば（５）式により OTF を計算することができる。ここでは、本書においてここまでに
たびたび取り扱ってきたスポットダイヤグラムを用いて、最も多く光学設計において用いら
れているであろう、所謂幾何光学的 OTF、
OTF
G(
s
,
t
)を算出する方法について考えよう。
ここで光学系の瞳の面積を
A
として、瞳上の単位面積を通過するエネルギーを均一に
１とすれば、光学系を透過する全光量は
A
であり、スポットダイヤグラムより得られる強度分
布（像面単位面積あたりに到達するエネルギー）を
I
ｐ（
x,y
）なる関数で表すとすれば、本連
載２４回（９）式より
dydxtysxiyxI
A
tsOTF pG
2exp,
1
, （１）
である。ここで、瞳上座標（
u
,υ）を導入し、瞳上の微小面積
ｄS
p
が像面上の微小面積
dS
i
に投影される（瞳面上の面積
dS
p
の微小なパッチを通過した光線が、像面上でやはり微小
な面積
dS
i
のパッチを形成する）とすれば(図 1)、瞳上の単位面積を通過するエネルギーは
１であるので、対応する瞳上と像面におけるパッチの間で幾何光学的な強度の法則３）P15、
pip dSdSI
1 （2）
が成り立つ。
この関係より
I
p(
x,y
)=
dS
p
/
dS
i
、
ｄS
ｐ
＝
dudυ
、
dS
i
=
dxdy
とすることができる。
保存則である（2）式の両辺における面積
ｄS
i
、dS
p
の間にはエネルギーの分岐、吸収
等を考えなければ、光学系が存在しても構わない。従って、ここでの瞳面とは任意の位置
に置いても(2)式は成り立つことになる。一般的には光学系第一面の直前に仮想の入射
平面を置き、この面をここでの入射瞳面にあたる面とする場合が多い。物体と入射面の間
に光学系が存在しないので、均等な強度分布は均等な面分割パッチを狙い光線を発射
させることにより簡単に表現できる（NA が大きいときには注意を要するが）。
さて、これらの関係を（１）式に代入すれば、
dduuytuxsi
A
tsOTF S
G ,,2exp
1
, （3）
である。積分は入射面上（仮想の入射瞳）で行われれば良い。
u
、υはこの瞳上のみにお
いて定義されるわけであるから、（3）式の積分範囲 S は瞳の形状を表わしている。また、像
面上の光線到達点の座標（
ｘ、ｙ
）は、物点位置が定まれば、光線の瞳通過座標のみによ
り決まるので、（3）式において
ｘ、ｙ
をそれぞれ
u、υ
の関数として表わした。
ここで、瞳面を
N
個の等面積の矩形に分割して、ｊ番目の格子の頂点を通過する光線
の像面到着座標を（
x
j
,y
j
）とし、
A
=
Ndudy
とおいて（3）式の積分をを用いて離散的に表わ
すと
N
jjj
ddu
Gdudtysxi
Ndud
tsOTF
1
0, 2explim
1
,
（4）
よって
N
jjjG tysxi
N
tsOTF
1
2exp
1
,
（5）
この（5）式を基にして幾何光学的 OTF を計算することができる。
さらに、オイラーの公式より、（5）式におけるｃｏｓ成分、sin 成分を別々に表わせば
N
jjjC tysx
N
R
1
2cos
1
（6）
N
jjjS tysx
N
R
1
2sin
1
この時
SCG iRROTF
（7）
であり、絶対値である MTF は
22 SC RRMTF （8）
PTF は
C
S
R
R
PTF 1
tan
(9)
図 2に２次元的に示す通り、(
ｓ
、
ｔ
)で表わされる様々な方位に対する MTF を計算する事が
できる。
また、多くの場合 MTF は互いに直交するサジタル方向、タンジェンシャル（メリディオナ
ル）方向それぞれにおいて単独で計算されるので、例えばタンジェンシャル方向のみ考え
れば、（6）式は
N
jjC ty
N
R
1
2cos
1
、
N
jjS ty
N
R
1
2sin
1
（10）
とすることができる。サジタル方向についても同様にして結果が得られる訳であるが、回転
対称性を持った一般的な光学系の場合、サジタル方向においては強度分布には線対称
性が存在するので、スペクトルのsin成分は存在しない。このことはsin波そのものが原点に
おける線対称性を持たないことからも理解できる。よって、この様な場合のサジタル方向に
ついてのＭＴＦは
N
jjS sx
N
MTF
1
2cos
1
（11）
とすることができる。
この様に計算された実際のﾚﾝｽﾞの
ｓ
、
ｔ
方向の１次元的 MTF 図を図 3 に示す。
2. スポットダイヤグラムをδ関数の塊と考えた場合の幾何光学的 OTF の計算
幾何光学的な光線追跡による点像の強度分布 PSF を
I
(
x,y
)と表せば、その
分布はスポット・ダイヤグラム分布における像面上光線到達点を表すδ関数の塊
として表現することができる。
I
(
x,y
)は、光線本数分のデルタ関数の集合として
N
jjj yyxxyxI
1
,
(12)
である。
ｘ
と
x
j
、
ｙ
と
y
j
が一致した場合にのみ、そこに積分値が１たる、δ関
数が存在することになる。ここでは、
N
は有効光線の総数を表し、(
x
j
,y
j
)は像面
上のそれぞれの光線の交点座標を表す。
さて、OTF は点像強度分布 PSF のフーリエ変換として表されるので、簡潔
のため、全光束（エネルギー）を１として考えれば、上式も考慮して、
dxdytysxiyxItsOTF
2exp,,
dxdytysxiyyxx
N
jjj
2exp
1
(13)
ところで、点（
x
0,
y
0）において関数
f
(
x,y
)が、デルタ関数との積の形でサンプリ
ングされる場合、以下の関係がデルタ関数の定義から成立する 4)P50,5)P53。
0000 ,, yxfdxdyyyxxyxf
(14)
よって(13)式は、
N
jjj tysxitsOTF
1
2exp,
(15)
s,t
はそれぞれ、サジタル方向、メリディオナル方向の空間周波数である。ここ
で、全光束を 1と正規化せず、光線一本一本の表すエネルギーを等しく 1と置き、
全光線で光学系への全光束を表すとすれば、I(x,y)の全像面における積分値は総
光線本数 Nとなり、(15)式は
N
jjj tysxi
N
tsOTF
1
2exp
1
,
(16)
と成り、（5）式と一致する。
３． 参考文献
１） 小瀬輝次：フーリエ結像論（共立出版社、東京、１９７９）
２） 草川 徹：レンズ設計者のための波面光学（東海大学出版、東京、1976）
３） 牛山善太、草川徹：シミュレーション光学（東海大学出版会、東京、2003）
４） 井町昌弘、内田伏一：フーリエ解析（裳華房、東京、２００１）
５） J.Gaskill：Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics
(JOHN WILEY & SONS,New York, 1978)
