光学設計ノーツ 36 (ver,1.0)

部分的コヒーレント結像の考え方６

部分的にコヒーレントな照明領域での照明系の収差の影響

今回も部分的にコヒーレントな照明、結像について考えさせていただきたい。インコヒー

レントな領域での照明形の収差について考えた前回の続きとなり、今回は部分的にコヒーレント

な照明光学系の性質について考えさせていただきたい。

１．照明光学系による部分的コヒーレント照明

図１（前回と同様）にある様に光軸に対して回転対称な系を考える。

本連載前回と同じように半径ρの円盤光源Σの半径ρ’の像Σ’が光学系 Lにより得られてい

る。この時、開口絞り面上の点を通過する光線の、入射瞳、射出瞳座標上における対応点を P1、

P’1、そしてもう一組 P2,P’2とする。本連載前回、(35-19)と(35-20)式、（像面上のこの照明光学

系による点光源像におけるエアリーディスク半径を r’Aとして）

照明光学系の射出瞳全体がコビーレントな状態、





13.0



(35-19)

とインコヒーレントな状態、





13.0



(35-20)

の中間の状態では部分的なコヒーレントの状態となる。像面上のコヒーレンスは複素コヒ

ーレンス度 μ12 により記述されなければならない。前回、(35-20)式が成り立つインコヒー

レントな場合には像面上(照明面上)の複素コヒーレンス度は照明系の収差に依存しないこ

とが分かった。今回はより一般的な部分的コヒーレントな状態においての、この事柄につ

いて検討しよう。

さて、射出瞳から像面上の点 Q’’１までの光波の伝播を、Λ1をP’1における傾斜係数と

してホイヘンス-フレネル回折の考え方から、

 















ski

PSUQSU 11

exp

,, (１)

と表すことが出来るので、本連載 34 回における Hopkins の公式(34-11)式、









dSQSUQSUQQJ 2

12112 ,,, 



 



(34-11)

より(1)式は、

 









dSPdPd

sski

PSUPSUQQJ

212112

exp

,,, 









 

 (２)

従って

 









 









 

PdPd

sski

PPJQQJ 21

21122112

exp

,, (３)

ここで、本連載 32 回(32-11)式、

2211

12 JJ





(32-11)

から



2211

2112

,JJ

QQJ

QQ 









(3)式より、











 









PdPd

sski

PPJ

JJ 21

2112

2211

exp

また、さらに(32-11)式の関係を利用して

 









 









PdPd

sski

PPPIPI

JJ 21

211221

2211

exp



そしてさらに、本連載前回の(35-12)式、







2112 exp





















 i

PP (35-12)

より、



 













 













 

PdPd

sski

PIPI

QIQI

QQ 21

21211

2112

exp2





(４)

となる。

ここで、瞳中心から光源像への見込み半角α’を用い、光源面上の点 P1とP2の像面上におけ

るにおけるこれらの点の共役点 P’1,P’2の間隔を d’として、













sin

v (8)

であり、像界の屈折率をｎ’を用いて真空中の中心波長 0



を用いて表記してある。

さてここで、本連載前回考えた Hopkins の公式の以下の形、

   

dSPSUPSU

PIPI

PP 







 21

2112 ,,



を考えるとき、この式における入射瞳、射出瞳間の透過関数 K1,K2の位相の変化が(4)式に

おける 21 ,



で表され、これら透過関数の位相項が(４)式に含まれていることにより、複素

コヒーレンス度が照明系の収差に影響されることが分かる。なお、強度

(Q’’1)は、(４)式に

おいて Q’’2をQ’’1に置き換え、μ12(Q’’1,Q’’1)＝１なる関係より(４)式から計算できる。

(Q’’2)

についても全く同様である。

２．参考文献

１） M.Born & E.Wolf : 光学の原理Ⅲ、第 7版／草川徹訳（東海大学出版会,2005)

２）小瀬輝次：フーリエ結像論（共立出版社、東京、１９７９）

３）牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス社、東京、2005）

４）Emil Wolf ：Introduction to the Theory of Coherence and Polarization of Light

(Cambridge University Press,Cambridge,2007)