光学設計ノーツ 39 (ver,1.0)

部分的コヒーレント結像の考え方９

transmission cross－coefficient について

部分的にコヒーレントな状態における結像を考える上で重要な transmission cross－

coefficient の考え方について、今回は触れさせていただきたい。導出についての座標、光

学系配置、変数については前回におけるものと同じである。換算座標で書き直した図１を

ご参照いただきたい。

１．

transmission cross－coefficient の導出

ここで、物体面上の複素コヒーレンス度を考えると、本連載第３２回（11）式よ

り、





















































22221111

212112

2112

,,,

DDDD

YXJYXJ

YYXXJ



－（1）

ただし、











































  11

111111 ,,,,, DDDDDD YXIydxdYXyxAYXJ

-（2）











































  22

222222 ,,,,, DDDDDD YXIydxdYXyxAYXJ

であって、物体面上における、それぞれの単独の点における強度を表す。

ここで、本連載 33 回ファン・シッター－ツェルニケの定理（16）式の場合と同様に

μ12（Q1’、Q2’）が、点 Q1’、Q2’の距離のみに依存すると考えると、



































2121122112 ,, DDDD YYXXQQ



－（3）

となるので、（1）式は、



































212112212112 ,,,, DDDDDDDD YYXXKYYXXJ



（4）

と変形できる。ただし、

























22221111 ,, DDDD YXJYXJK －（5）

と置いた。

さて、結像系の入射瞳面上の複素振幅分布は物体複素振幅分布のフーリエ変換で表さ

れるので、この分布は、

















































DDDDDD dYdXyYxXiYXOyxo



2exp,, （6）

と表現できる。これを逆フーリエ変換すると、物体面上の複素振幅分布は





 





































 dxdyyYxXiyxoYXO DDDD



2exp,,

と出来る。そこで、前回と同様に物体面上の２点に対する





 







































1111111111 2exp,, dydxYyXxiyxoYXO DDDD



－（7）





 







































2222222222 2exp,, dydxYyXxiyxoYXO DDDD



を考える。すると、本連載前回の（８）式、



 











































 221122111212 ,,,,,, DDDDDDDDDD YXOYXOYXYXJYXJ









































 

21212211 ,, DDDDDDDDDDDD dYdYdXdXYYXXASFYYXXASF

(38－8)

は（4）,(7)式より、

  

 



 



















 221121211212 ,,,,, yxoyxoYYXXKYXIYXJ DDDDDDDD









































 

2211 ,, DDDDDDDD YYXXASFYYXXASF





































212122112211

2exp DDDDDDDD dYdYdXdXYyYyXxXxi



(8)

となる。ここで、



2211122211 xXXxXXXxxXxXx DDDDDDD 



































－（9）



2211122211 yYYyYYYyyYyYy DDDDDDD 





































と置き、





 



















2121122121 ,,,, DDDD YYXXKyyxxR







































 

2211 ,, DDDDDDDD YYXXASFYYXXASF



































































































 22221111 2exp2exp yYYxXXiyYYxXXi DDDDDDDD





2121 DDDD dYdYdXdX （10）

と新たな関数を置けば、（8）式は、



DDDD YXIYXJ ,,

12 

      



  



DD YyyXxxiyyxxRyxoyxo 121221212211 2exp,,,,,



2121 dydydxdx



－（11）

となり、(38－8)式とは異なる表現が可能となる。上式における

(

2、

)をtransmission

cross－coefficient（以下、TCC）と呼ぶ。物体(原稿)面複素振幅分布のフーリエ変換と TCC

が得られれば、それらから像面上の強度分布が計算出来る訳である。

もし、常に

(

2、

)=1 であれば、（11）式は、



DDDD YXIYXJ ,,

12 

  











 

 111111 2exp, dydxYyXxiyxo DD



  











 





222222 2exp, dydxYyXxiyxo DD









,,, DDDDDD YXOYXOYXO   －（12）

となる。これは、物体の分布と同じ強度分布が得られることを表している。TCC は(10)式

にある通り、原稿上の複素コヒーレンス度、光学系の点像振幅分布関数により成り立って

いるのであるから、

(

2、

)は光学系の結像性能も含めて、コヒーレンスによる像強

度分布の変化の程度を表す係数であると考えられる。

２．参考文献

１） M.Born&E.Wolf：光学の原理Ⅲ、第 7 版/草川徹訳（東海大学出版会、東京、2005）

２）小瀬輝次：フーリエ結像論（共立出版社、東京、１９７９）

３）牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス社、東京、2005）