光学設計ノーツ 40 (ver,1.0)

部分的コヒーレント結像の考え方 10

部分的コヒーレント光学系の OTF１

前回は部分的にコヒーレントな状態における結像を考える上で重要な transmission

cross－coefficient（TCC）について考えたが、今回からは、TCC から考察される、光学設

計には直接重要なものとなる部分的コヒーレント光学系の OTF について触れさせていただ

きたい。今回は OTF 導出のための、TCC の変形について解説させていただく。なお、導出に

ついての座標、光学系配置、変数については前回、前々回におけるものと同じである。換

算座標で書き直した図１をご参照いただきたい。

1. 部分的コヒーレント光学系 OTF の導出、TCC の変形

transmission cross－coefficient（TCC）は、本連載前回の（10）式





 



















2121122121 ,,,, DDDD YYXXKyyxxR







































 

2211 ,, DDDDDDDD YYXXASFYYXXASF



































































































 22221111 2exp2exp yYYxXXiyYYxXXi DDDDDDDD





2121 DDDD dYdYdXdX （39－10）

ただし、

























22221111 ,, DDDD YXJYXJK －（39－5）



21 QIQI 



































222111 ,:,,: DDDD YXQYXQ

（つまり、原稿面上の 2点の強度の積の平方根である。）

において、











21 ,DDDD XXXX











21 DD XX











21 ,DDDD YYYY











21 DD YY

と変数を置き換える。さらに、この計算においては、コヒーレンス度が値を持つのはフラ

ウンホーファー回折像程度の距離はなれた原稿面上の２点についてであるから、実際に

(39-10)式の積分に寄与するのは、像点（XD1、YD1）、（XD2、YD2）に対応する２物点近傍の

（X’D1、Y’D1）、（X’D2、Y’D2）のみである。従ってその範囲内では照明による強度は一定で

あると看做せよう。(39-10)式の定数を積分外に出し、



2121 ,,, yyxxR



    











ddddyxyxiASFASFK 222112 2exp,,,

（1）

と(39-10)式は変形出来る。

さて、ここで、本連載 33 回における van Citter－Zernike の定理から、コヒーレン

ス度μから定まる光源面上の強度分布を、瞳上の座標で

(

)と考えれば、コヒーレンス度

は、





















 

 dxdyyxs

dxdyyxiyxs

2exp,





（2）

と表せる。この様に van Citter－Zernike の定理からは、光源の強度分布を光源全体の強

度で正規化した値が重要になるので、コヒーレンス度を考える場合には、光源がコンデン

サーレンズ等で結像レンズ入射瞳面上に結像された 2次光源も、本来の光源と同等に扱え

る。この様な強度分布を持つ光源を有効光源（effective source）と呼ぶ。ここで、定数と

して



KdxdyyxsE





 ,

と置けば（1）式は、

    

 



 







,,,,,, 2121 ASFASFyxs

yyxxR E























dxdyddddyyxxiyxi



2121

2exp2exp 

    











 









ddyyxxiASFyxs

KE11

2exp,,

  



dxdyddyyxxiASF 





 







)(2exp, 22 (3)

となる。

さて、点光源がもたらす点像振幅分布 ASF（

）と瞳関数

(

x,y

)とは以下のフーリ

エ変換の関係で結ばれているが（参考文献 3、P203 7.4（11）式、或いは本連載 28 回(12)

式参照）、

 





















 dxdy

yYxX

iyxfCYXASF





2exp,,

（4）

（

= const. ）

これを、本連載 38 回以降利用している変数の置き換え、

λR

) 、

λR

) （38－2）

を施して表記すれば、

   



  dxdyyYxXiyxfCYXASF DDDD



2exp,, （5）

となる。逆フーリエ変換を行うと、

   



  DDDDDD dYdXyYxXiYXASF

yxf



2exp,

, （6）

さらに原点を移動し、変数を置き換えて表現し、









 



ddyyxxiASFyyxxfC 1111 2exp,,

(7)

この式を（3）式にそのまま代入すると、

   

dydxyyxxfyyxxfyxs

CyxyxR E









2211

2211 ,,,,,,

（8）

となり、物体座標、像面座標を含まない（勿論、瞳関数は物体位置に影響を受けるが）、

有効光源座標と瞳座標という、双方瞳面上で定義される変数のみで表される TCC について

の簡潔な表現が得られる。

２．参考文献

１） M.Born&E.Wolf：光学の原理Ⅲ、第 7 版/草川徹訳（東海大学出版会、東京、2005）

２）小瀬輝次：フーリエ結像論（共立出版社、東京、１９７９）

３）牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス社、東京、2005）