光学設計ノーツ４８（ver.1.0）

球面収差係数による幾何光学照度分布の計算

波面収差と光線収差の関係を表わす式を用いれば、光束の集光密度を計算し、

波面収差から像面上の照度分布を求めることが可能であり、任意の次数の、任意

の収差の存在する場合の照度分布を得ることができる。ここで得られる数式は、

スポット・ダイヤグラムの様な計算機実験的な結果からではなく、幾何光学的強

度の法則に基づく解析的な照度(強度)分布を直接表わす。今回は３次、あるいは

５次の球面収差を持つ光学系を例に取り、この理論的な幾何光学的照度分布を検

討することにより、これらの収差固有の強度分布パターンを、また、幾何光学理

論の限界などについて考えたい。

１．３次の球面収差と像面移動が存在する場合の幾何光学的照度分布

本連載 45 回において述べさせていただいた様に、波面収差は光学系の構成、物

点位置により決められる係数 a0,b0,b1,…をもちいて







222 ,,,;,0 yyuWuyW



















2

22

1

4

02

22

1

2

00





















 ucycybubyba









22

5

3

4

222

3

22

2

























uycycuycyc







2

222

4

2

22

3

33

2

3

22

1

6

0





























 uydyudydudyd









































322

8

2222

7

422

6

24

5yudyudyudyd









5

9yd （1）

と表現することができる。ここでの係数 a0,b0,b1,…は収差係数と呼ばれ、光学

系の構成、物点位置により決められる。

ここで、4 次までの球面収差と光軸方向の焦点ずれの収差の項を抜き出し、

これらの収差のみ存在すると考えれば、この時の波面収差

W

は、係数を簡潔のた

め、

ｃ、ｂ

とすると







22

2

22

















ubucW （２）

となる。右辺第１項が球面収差、第２項が焦点ずれの収差を表わす。

ここで、（2）式で表わされる収差が存在する場合の、像面上の結像による照度

分布を、前回導いた（４７－９）式を用いて計算してみよう。像面上、軸上結像

の理想像点位置、つまり原点からの光線到着点の距離の成分を(

x,y

)とすれば、

（1）式の波面収差と光線収差の関係から







ubuucR

u

W

Ruz 

















 24, 22



（３）





























 bucR

W

Ruy 24, 22 （４）

また、同様にして（3）、（4）式をさらに微分し、



buc

u

W234 22

2

















（５）



buc

W234 22

2

















（６）















uc

u

W8

2

（７）

前回の（９）式、

1

2

















































































u

WW

u

W

R

I

Ip

g （４７－９）

により照度分布式を求めると











1

222

2

222

2812

4

















bubcuc

R

I

Ip

g



（８）

となる。

瞳面上の座標

u’

、υ’を変化させて（8）より得られる照度分布を図示す

ると、図 1(a)から(f)となる。係数

ｂ

の中には観測面の移動量が含まれており、

ｃ

を一定にしてｂが変化し、異なる像面位置において計算された照度分布がそれ

ぞれの図に示されている。この場合には、

ｃ

は正の値にとってあり、

ｂ

の負が大

きくなると像面が光学系に近づく。図 1 においては、分布が光軸について回転対

称なので回転軸から半分が描かれている。

２．照度の発散について

（8）式から明らかな様にそれぞれの図において









0812 222

2

222 













bubcuc



（９）

の時、照度は無限大に近づく。この場合は（9）式より、以下の関係が成り立っ

ている。

c

b

u6

22













（10）

c

b

u2

22













（11）

ここで、瞳上の極座標を導入し



cos

r

u

 、





sinr





、





222









ur

と置いて、（3）（4）式より、辺々２乗して足し合せれば、像面上に描かれる円

の軌跡の方程式が得られて

2

322

2

4



















 r

c

b

rRcyx （12）

従って、（11）式は、画面中心部照度が無限大に発散している場合を表わし、（10）

式の場合は、像面上





2

2322 34 rrrRcyx 



2

3

8Rcr

2

3

6

8

































c

b

Rc （13）

より表わされる半径の円周上において照度は無限大となる。

また、像面上の動径ρ











 r

c

b

rRcyx 2

4322



（14）

を考えると、両辺を

ｒ

で微分して















c

b

rRc

r2

34 2



（15）

すると、（11）式は（15）式における

0



r



の解であることが理解できる。つまり、瞳上座標の単調な変化に連れて、像面上

の光線到着点の座標も変化するが、その動きの方向が変わる、ごく微小なｒの変

化に対して、動きが止まる位置においては、無限小の面積に、有限の瞳面積から

の有限なエネルギーを持つ光束が集まり、照度が無限大に発散する計算結果とな

る。勿論、この様な結果は現実には起こらない。光の波としての性質のために、

無限小の面積に有限のエネルギーを持った光束が総て集光する様なことが起こ

り得ないからである。こうした幾何光学計算における留意点は次回で触れさせて

いただく予定である。

３．５次収差を考慮した幾何光学的照度分布

上記３次に加えて５次の球面収差が存在する場合の照度分布計算結果を図

2(a)から(c)に示す。

上述と殆ど同様な計算が行なわれるので詳しくは触れないが、基本となる波面収

差

W

は











22

3

22

2

22

























ubuducW （16）

と表わされる。

この計算においては上述と同じ量の正の３次収差を用い、それにバランス

する様に、負の 5 次収差を設定してある。図 2 においては、図 1 の場合と異なる

比例定数を用いているので、縦軸方向においては単純に比較できないが、横軸、

x

座標は同スケールで描かれているので、３次収差のみの場合と比べ、高照度部

周辺に広がるフレアが減少し、フレアを抑えた状態での光の芯も細くなっている

ことが容易に分かる。

また、

ｂ

が、近軸結像位置を超えて正方向に増加する時（ボケて行く時）、

３次収差のみの場合には、単調に分布の起伏が緩やかに変化して行くのに比べ、

中心部の変化は３次のみの場合とあまり変わらないが、負の５次収差が存在する

場合には、その影響で周辺部に図 2(a)における様な発散部を生じることが理解

できる。

４．参考文献

１）草川徹：レンズ光学（東海大学出版会、東京、１９８８）

２）草川徹：レンズ設計者のための波面光学（東海大学出版、東京、1976）

３）久保田広：応用光学（岩波書店、東京、1980）

４）辻内順平：光学概論Ⅰ（朝倉書店、東京、1979）

５）松居吉哉：レンズ設計法（共立出版、東京、１９７２）

６）村田和美：光学（サイエンス社、東京、１９７９）

７）牛山善太、草川徹：シミュレーション光学（東海大学出版会、東京、2003）