光学設計ノーツ５９（ver.1.0）

キルヒホッフの回折積分式 2

前回から実用的な回折振幅・強度計算の基礎となる、キルヒホッフ(Kirchhoff)の回折

積分式について、ヘルムホルツ（Helmholtz）方程式から出発して述べさせて戴いているが、

今回はヘルムホルツ-キルヒホッフの積分定理について、引き続いて解説させて戴く。

１．ヘルムホルツ－キルヒホッフの積分定理 ②

前回(1)式のヘルムホルツ方程式



2u



x2 



2u



y

2





2u



z

2

 k 2u  0

（58-１）

k  2



ただし、





を満たす Green 関数として前回決めた(58-4)式、

G



Q





exp



iks





(58-4)

を用いて、この球面波伝播式によって小球についての面積分を考えると



G



Q







G



Q





s



n



s



n



ik

exp



iks





s



exp



iks





s

s2 n

s

ここで、前回における、



s



cos



n



,

s









n

なる結果を用いると（cos の位相項はこれら二つのベクトルの為す角度を表す。）、



G



Q





cos



n



,

s







ik



1



exp



iks













n





－（6）

となる。さらに、ここでの積分はそもそも P を囲む微小球の表面積 S’について行われるべ

きものなので、点 Q が

S’

上に存在すると考えると、

G



Q





exp



ik











G











－（７）

であり、

S

‘上におけるｎとｓ（ｓ＝ε）の方向は、今度は同じであるから（ｎは有効な体

積内の方を向くので、S 上の点 Q におけるのと異なり、P を囲む球表面の外側に向かう法

線ベクトルとなる）(図１)、

n

V n

s Q

 P

S’

S

なり、（ 6）式より

図 1 表面 S と S'上に法線ベクトルｎの方向

cos



n



,

s







1

s



















G



Q







ik



1



exp



ik















n





－（8）

と出来る。

又、小球面上の微小面積 dσ に対しての微小立体角ｄΩ＝ｄσ

/

ε2 を考え、また、ｓ→ε

となり前回（5）式

U G  G U 





 G U 



 n n d  

U n  G n d



 0 －（58-5）

S   S'  



の左辺第二項について考えると、



U



G



G



U



d









S



 









ik

n 







1



exp



ik







exp



ik







U











2

d







U  

4





n 







ik



U







exp



ik







U







exp



ik









exp



ik







U









d









4







n





（9）

となる。







n







n

ここで、（ 58-5）式左辺第一項は

S

についての積分であり、ε に依存しないので左辺第

二項についてε→０なる場合を想定すると、

U

及び、その微分は有限の値を持つので、(9)

式積分内の第 1 項、第 3 項は０になり、



U



G



G



U



d











U



0



d





 n 





4









4



U



0





（10）

である。よって（58-5）、（10）式より



 expiks  expiks U 





4



U



0









U



n



s



s



n



d

S











よって、

U

はP においても連続であり、

U

（０）は P における

U

を表すので、上式は

U



P





1









exp



iks







exp



iks





U







4





U n 

s



s



n



d

－（11）

S    



として表される。この式をヘルムホルツ－キルヒホッフ(Helmholtz- Kirchhoff)積分（積

分定理）と呼ぶ。

２．参考文献



１）飯塚啓吾：光工学（共立出版、東京、１９８３）

２）石黒浩三：光学（共立出版、東京、１９５３）３）

辻内順平：光学概論Ⅱ（朝倉書店、東京、1979）

４） J.Gaskill：Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics

(JOHN WILEY & SONS,New York, 1978)

５） M.Born & E.Wolf :Principles of Optics,7th edition(Pergamon Press,

Oxford,1993)／草川徹訳：光学の原理（東海大学出版会,2005)

６）ヤリーブ：光エレクトロニクス基礎編（多田邦夫、神谷武志監訳）

（丸善、東京、2002）

７） E.Wolf:Proc.Roy.Soc.A253,349(1959)

８）牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス社、東京、2005）

S

