光学設計ノーツ 60 (ver.1.0)
平面波の表現について
本連載第 5回においてホログラムの原理について触れさせていただいた。そこではホ
ログラム平面内に干渉縞が記録される所謂、薄いホログラムの範疇でお話をさせて頂いた。
その続きとして（大分、時間が経ってしまったが）厚みのある、体積のあるホログラムにつ
いて考えさせていただきたいのであるが、今回はそのための予備知識として平面波につい
て改めて触れさせていただく。本連載においてはたびたび登場し、非常に重要な“平面波“で
あるが、これまでそれ自体についての解説は行ってはいなかった。反省しつつここに記させ
ていただきたい。
1.正弦波の表現
正弦波は最も基本的でシンプルな波動の一つである。この正弦波が、
ｘ
方向に速度
ｖ
で進行
する場合は、
vtxkAtxu cos, （１）
と表わされる。波動の揺れ、変位の最大値
A
を最大振幅、cos の中括弧内を位相と呼び、角度で
ある。また、明らかに正弦波は周期を持っている。この様に時間的な周期性を持った波動を、時間
に対して調和的（harmonic）であると言う。そこで空間的な１周期を波長λ、時間的な周期を周期
T
で表わす。
v
T
(2)
（１）式の
u
()は
t
を
t
+
T
に置き換えても変化しない。
ｋ
は波数と呼ばれ、波動が単位距離進行する
時に変化する位相角度であり、
2
k （３）
と表わされる。波数に光波の進行距離を乗じれば進んだ位相が得られる。φは初期位相の項であ
り、空間座標
ｘ
と時間座標
ｔ
の原点を適当に選べば０にすることができる。また、周波数
ｆ
を用いれば、
v
T
f 1 （４）
であり、単位時間に変化する位相角度を角周波数ωで表わし、
f
T
2
2 （５）
となる。
真空中の光速を
ｃ
とすれば、ここまでの
ｖ
は任意の媒質中の速度であるとして、
ｃ
と
ｖ
の比がその
媒質の屈折率となり、
v
c
n （6）
である。
また、周波数ｆは不変であるので真空中の波長を
λ
0として、（4）（6）式より、
0
c
n
c
f
よって、
0
n （7）
となる。
波動の位相が等しい点を連ねた面を等位相面、或いは波面と呼ぶ。（１）式により表わされる
波動は
ｘ
方向へ進行する１次元的波動であるが、
ｘ
軸に垂直な平面を等位相面として形成する波
は総べて（１）式で表わされる。ある平面（等位相面）内の情報は(1)式ですべて表されてしまうし、
他に表わされるものもない（必要十分）。この様に表わされる、等位相波面が平面の波動を平面波
と呼ぶ。
２．平面波の表現
ここで、２次元、或いは３次元空間を伝播する平面波の記述について改めて説明させて頂
こう。取りあえず２次元座標上で、図1に示した様に、
ｘ
軸とθの角度を為す方向に進行する正弦平面波を考えよう。新たに、旧座標と原点を共
有し、波動の進行方向に
X
軸、これに直交した、波面の広がりに沿う方向に
Y
軸を持つ新座標系
を考えると、初期位相項を０とおいて、
T
kv 2
なので、X軸方向に進む正弦波は以下の如くに表せる。
tkXAtYXu
cos,, （8）
因みに位相を（-
kX
-
ωt
）とすると逆方向（
ｘ
の負の方向）に進行する波を表わす。
この式を
ｘ
－
ｙ
旧座標に変換すると、
図１ ２次元的平面波
cosX
x
、
sinXy
であり、また、
22 cossin XX
coscossinsin
YXX
と表わせるので、これらの関係より(8)式は、
tyxkAtyxu
sincoscos,, （9）
ここで、波数
ｋ
を考えると、これは新
X
軸上で単位距離、波動が進行する時に変動する位相角を表
わすので、
X
軸に沿った方向（波動進行方向、この場合
X
軸方向）と量
ｋ
を持ったベクトルを新しく
考えることができる。これを波数ベクトルと呼ぶ。
sin,cos, kkkkk yx
（10）
よって、（9）式は、
tykxkAtyxu yx
cos,, （11）
と表わすことができる。
さて、上記（11）式を３次元空間における波動の表現に拡張することは容易である。図2にお
ける様に座標をとると、
波面の進行方向を、波面座標系上の
X
軸と考えれば、
X
軸方向の旧座標に対する方向余弦
を導入して、
cosXx 、
cosXy 、
cosXz
また、
X
2=
x
2+
y
2+
z
2なので、（９）式を得るときと同様に考えて、
tkXAtzyxu
cos,,,
tkzkykxA
coscoscoscos
(12)
となる。ここで、ベクトルｋは
cos,cos,cos,, kkkkkkk
zyx
と表 記 できるので、（12）式は、
tzkykxkAtzyxu
zyx
cos,,, （13）
である。また、任意の座標（
ｘ、ｙ、ｚ
）の位置ベクトル r
を考えると、波動の進行方向を表わす波数
図２ ３次元的平面波
ベクトルとの内積を用いて、内積はベクトル各成分それぞれの積の和であるから、（13）式は、
trkAtru
cos, （14）
と表現することができる。 この波動はスカラー波動方程式、
2
2
22
2
2
2
2
21
t
U
z
U
y
U
x
U
(15)
を満たす。
さて、ここで、複素表示を用いると（exp の実数部のみ有効という置き換え）、
trkiAtru
exp, （16）
とすることができる。また、多数の光波の干渉等を考える場合、自ずと同一の光源から発し
た光波の重ね合わせについて、同時刻において考えなければならないので、光学では空間成
分のみを問題にする場合が多い。（16）式から時間依存項を省略すると、
rkiAru
exp （17）
と表現できる。
３． 参考文献
１） M.Born & E.Wolf :光学の原理Ⅲ、第 7版/草川徹訳（東海大学出版会、東京、２００５)
２） 石黒浩三：光学（共立出版、東京、1953）
３） 小瀬輝次：フーリエ結像論（共立出版,東京,1979）
４） 草川 徹：レンズ設計者のための波面光学（東海大学出版、東京、1976）
５） 村田和美：光学（サイエンス社、東京、1979）
６） 谷田貝豊彦：光とフーリエ変換(朝倉書店、東京、1992)
７） 牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス社、東京、2005）
