光学設計ノーツ 63 (ver.1.1)

導体中の光波の進行・複素屈折率

前回は波数

k

のより一般的な表示を行う際に必要になる、吸収などを含む、導体中の

光波の挙動を表現する方程式について考えたが、今回はその結果を用いて、導体中の光波の

進行について、また複素屈折率について解説させていただく。

１．複素屈折率

ここまでは、多くの場合には電荷を含まず、電場を加えても電流が生じない媒質、誘電

体の境界面における反射・屈折について考えてきたが、ここでは導体境界面における反射に

ついて考えてみよう。

等方で均一な誘電体中におけるマクスウェルの方程式から、各周波数 、透磁率 、

誘電率  を用いて以下のヘルムホルツ方程式が導ける（本連載 62 回(15)式）。

0

22  EE





(1)

しかし、導体中においては(1)式は、電流が生じることに付随した導電率  を用いて、

以下の様に表すことができる。

0

22 











 EiE 







(2)

この(2)式は本連載、前回の(16)式と同様の式である。ここで、(1),(2)式の比較において

複素誘電率( complex dielectric constant )



ˆなるものを、複素比誘電率 r



ˆ、真空中の誘

電率



0を用いて、







i

r ˆˆ 0 (3)

と定義したことを思い出して戴きたい。(2)式においては誘電率を、この複素誘電率に形式

的に置き換えることにより(1)式と同様なものとして考えることが出来る。これに付随して、

複素位相速度 ( complex phase velocity ) 、

rr

c

v



ˆ

ˆ0

 (4)

そして、複素屈折率 (complex refractive index ) なども定義されて、

rr

v

c

n



ˆ

ˆ0  (5)

となる。また、複素屈折率は消衰係数 ( attenuation index )  を用いて、以下のように表

わす。







inn



1

ˆ (6)

ここで、(3),(5)式から、ε=εr ε0であるから













0

2ˆ

ˆ







in rrrr (7)

(6)式を 2 乗して、σは十分に長い波長に対しては、実数と看做すことができるので、(7)式

と実部、虚部を比較すれば、





rr

n



 22 1 (8)

0

2









r

n (9)

が得られる。(9)、(8)式からを消去すると、

0

42

0

2

22

24 







r

rr nn

よって、根の方程式より、











 rr

r

n









2

0

2

22

2

1

(10)

また、この結果と(8)式より、











 rr

r

n









2

0

2

22

2

22

2

1 (11)

が得られる。ｎとが実数であるので(10),(11)式左辺は正となり、平方根の符号は正が選択

される。

2. 導体中の光波の進行

さて、ここで、単に、導体中、

ｘ

軸方向に進む平面波を考えよう。ここで、複素波数

( complex wave number ) n

k

ˆなるものを考えれば、もともと波数

k

n

は,真空中の波数

k

を

用いて、

kn

c

n

v

k

n

n

0



(12)

と表わせるので、







iknnkkn 1

ˆ

ˆ (13)

なる値を









tkxiEE



 exp

0



に導入して、









txkiEE n



 ˆ

exp

0



(13)式より、









txiknknxiEE



 exp

0











xkntknxiEE



 exp

0



従って、











tknxixknEE



 expexp

0



(14)

とすることができる。(14) 式中、第二の指数項は

ｘ

方向への平面波を表わすが、第一項は

ｘ

の増大に伴い振幅

E

0を減衰させる働きを行なっている。 が消衰係数と呼ばれる所以で

ある。

金属内に入った光波の振幅が 1/e に減衰する距離 ( 表皮深さ ) を

x

d

とすれば、(14)式

から簡単に、

1



d

xkn



なる条件が必要なことが分かり、









nkn

xd2

1 (15)

となるので、(11)式の結果から、

x

d

の値を得ることが出来る。完全導体中、導電率   

となれば

x

d

０となることが理解できる。斯様に、導体内、特に金属内に入り込む光は、

急速に吸収され（全反射の場合と異なる）、減衰するので我々は金属境界面においての現象

としては反射を、主に考慮することになる。

因みに、誘電体では電導率  ０となるため(10),(11)式において、

rr

n





2 （16A）

0

22 



n (16B)

となるが、実在の導体に於いて電導率  は、これらの間の有限の値をとる。

3．参考文献

[1] M.Born & E.Wolf : Principles of Optics, 6th edition (Pergamon Press, Oxford,1993)

／草川徹、横田英嗣訳：光学の原理（東海大学出版会,1977), pp.237- 239.

[2] 辻内順平：光学概論Ⅰ（朝倉書店、東京、1979）, pp.42- 46.

[3] 龍岡静夫：光工学の基礎（昭晃堂、東京、1990）, pp.171-172.

[4] 牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス、東京、2005）.