光学設計ノーツ 68 (ver.1.0)

体積ホログラムの回折効率を考える 5

今回も引き続いて厚さのある体積ホログラム(thick hologram)の回折効率(diffraction

efficiency)を考察すべく、H.Kogelnik、参考文献[1]の結合モード理論（coupled- mode theory）

（或いは結合波理論(coupled-wave theory)について解説させていただきたい。

なお、参考文献[1]とともに、その解説が丁寧に記されている貴重な邦文である参考文

献[6]を参照させて戴いている。

1. Coupled-wave 方程式の導出

64 回（12）式、

K







（６４－12）

から、

2

2KBB







2

22KKB







66 回(11)式の関係より、

2

2KK











2

cos2 KK 





67 回（1）式の関係から、









2

0

cos2 KK 





（1）

ここで、







 )(cos 0

















 sin)sin(cos)cos( 00













 )sin()cos( 00

さらに本連載 66 回(7)式の関係がθ0に対して成立するので







 )sin(

40

0

n

K

また、これまでに導入している平均波数

B

は、

0

2nB







であるから、

 

00 sin

2

)(cos



 B

K

（２）

となる。従って(1)式は、



2

0

22 sin

2

2K

B

K

KB 

















2

0

2

sin2 KK

B

K









0

sin2



 K







0

sin2











BK （３）

と成る。ここで、

B

2

22







 （４）

なる Bragg 条件からのずれを表す系数を導入すれば、上記(3)式より、





0

0sin

2

sin2

















K

B

BK

そして連載前回(2)式、















Kn )sin(4 00 （６７－２）

より、平均屈折率を改めて

n

と表わせば、

n

K







4

2

 （５）

と出来る。ここで、前回(8)(9)式、

0222











 BSRBiiRR z







（67-8）





0222 2

2





 BRSBiSBiSS z



（67-9）

において、2次微分の項を無視して、（67-8）式は

0222









BSRBiiR z







辺々に 2

iを乗じて、

0





BSiRBR z







0

SiR

B

Rz





(6)

(67-9)式は





0222 2

2



BRSBiSBiS z



辺々に 2

iを乗じて、



0

2

2

BRiSBSB

i

Sz





0

2

2

RiSSB

B

i

B

Sz





(7)

(4)式より、



0

RiSi

B

Sz





(8)

ここで、以下の係数、





cos B

cz

R (9.1)





coscos B

K

B

cz

S (9.2)

を導入して、(6)(8)式は、

SiRRcR













(10.1)



RiSiScS













 (10.2)

となる。これら(10.1)(10.2)式が厚いホログラムにおいて回折効率を考えるための coupled-

wave 方程式である。

２．参考文献

[1] Kogelnik, Bell Sys.Tech. J., 48, 2909 (1969).

[2] A.Yariv：光エレクトロニクス展開編/多田邦夫、

神谷武志監訳（丸善、東京、2002）, p.676.

[3] M.Born & E.Wolf :Principles of Optics,6th edition(Pergamon Press, Oxford,1993)

／草川徹、横田英嗣訳：光学の原理（東海大学出版会、1977）.

[4] J.W.Goodman: Introduction to Fourier Optics 2nd.edi. (McGraw-Hill, NewYork, 1996), p.336

[5] J.W.Goodman：フーリエ光学 / 尾崎義治、朝倉利光訳（森北出版、東京、2012）, p.326.

[6] 辻内順平：ホログラフィー（裳華房、東京、1997）.

[7] P.Hariharan: Optical Holography Principles, techniques and applications,2nd.edi.

(Cambridge University Press, Cambridge, 1996), p.48.