光学設計ノーツ 69 (ver.1.0)

体積ホログラムの回折効率を考える 6

今回も引き続いて厚さのある体積ホログラム(thick hologram)の回折効率(diffraction

efficiency)を考察すべく、H.Kogelnik、参考文献[1]の結合モード理論（coupled- mode theory）

（或いは結合波理論(coupled-wave theory)について解説させていただきたい。今回は参照

波、信号波を新たな形式で定義しその位相を得るための式を導出する。次回では回折効率の

評価式に達する予定である。

なお、前回同様、参考文献[1]とともに、その解説が丁寧に記されている貴重な邦文で

ある参考文献[6]を参照させて戴いている。

1. Coupled-wave 方程式と参照波、信号波の新たな表現

前回（10.1）（10.2）式、coupled-wave 方程式、

SiRRcR













(68-10.1)



RiSiScS













 (68-10.2)

なお、 n

K







4

2



を解くために参照波 R,信号波 S を以下の通りに置く。

  





zrzrzR 2211 expexp







（1）

  





zszszS 2211 expexp







（2）

これら、(1)(2)式により複素空間を表現することができる。ここでの

R

,

S

は、重要な本連載 64 回の

（10）式における最大振幅項である。右辺第一項の波は再生波、或いは参照波であり、ホログラム

中で回折と吸収により徐々に減衰し、第二項は再現される物体波を表す。この時、本連載 64 回

(10)式における様に波動場を表現し、厚いホログラム内ではこれら二つの光波のみしか存在しない

と考えている。





 









rizSrizRrE

















expexp

（６４－10）

さて、

ｒ

1,

r

2,

s

1,

s

2 は境界条件により独立に決まる定数である。(68-10.1)式に(1),(2)式を代入

すれば、















zrzrzrzrcR2211222111 expexpexpexp





















zszsi 2211 expexp











従って、

ｍ

＝1, 2 と表わして、



mmmR sirc













(3)

となる。さらに、(68-10.2)式に(1),(2)式を代入すれば、























zszsizszscS2211222111 expexpexpexp























zrzri 2211 expexp











ここでも、

ｍ

＝1, 2 と表わして、





mmmS risic















 (4)

が得られる。

２．位相係数を得る

さて、ここで、(3)(4)式の辺々を掛け合わせると、

 

mmmmSmmR srsicrc 2





であり、









2



 icc mSmR (5)

となる。さらに計算して行って、





0

222 



icicccc RSRmmSR (6)

この 2 次方程式を根の公式を用いて解けば、













SRS

mc

i

cc





2

1

2

1

22

2

4

2

1















































SRSRS cc

i

c

i

cc



(7)

(7)式右辺、根号内を計算し、式の形を変えて、













SRS

mc

i

cc





2

1



2

1

2

242

2

1







































SRSSRR ccc

i

ccc







2

1

2

24

2

1

2

1













































SRSSRSRS

mccc

i

ccc

i

cc





(8)

なる式が得られる。

３．参考文献

[1] Kogelnik, Bell Sys.Tech. J., 48, 2909 (1969).

[2] A.Yariv：光エレクトロニクス展開編/多田邦夫、

神谷武志監訳（丸善、東京、2002）, p.676.

[3] M.Born & E.Wolf :Principles of Optics,6th edition(Pergamon Press, Oxford,1993)

／草川徹、横田英嗣訳：光学の原理（東海大学出版会、1977）.

[4] J.W.Goodman: Introduction to Fourier Optics 2nd.edi. (McGraw-Hill, NewYork, 1996), p.336.

[5] J.W.Goodman：フーリエ光学 / 尾崎義治、朝倉利光訳（森北出版、東京、2012）, p.326.

[6] 辻内順平：ホログラフィー（裳華房、東京、1997）.

[7] P.Hariharan: Optical Holography Principles, techniques and applications,2nd.edi.

(Cambridge University Press, Cambridge, 1996), p.48.

[8] 辻内順平：光学概論Ⅰ（朝倉書店、東京、1979）.

[9] 三好旦六：光・電磁波論（培風館、東京、1995）.