光学設計ノーツ 70 (ver.1.0)

体積ホログラムの回折効率を考える 7

今回も引き続いて厚さのある体積ホログラム(thick hologram)の回折効率(diffraction

efficiency)について、H.Kogelnik、参考文献[1]の結合モード理論（coupled- mode theory）

（或いは結合波理論(coupled-wave theory)を参照して解説させていただきたい。今回も前

回に続き coupled-wave 方程式を解いて行く。また、ホログラムの回折効率の定義について

も触れさせて戴く。

なお、前回同様、参考文献[1]とともに、その解説が丁寧に記されている貴重な邦文で

ある参考文献[4]を参照させて戴いている。

1. 透過型ホログラムの再生光の複素振幅

z

= 0 でホログラムに入射した光 Rは、体積媒質内の干渉縞が

z

軸方向に進行しホログ

ラムを通過し再生光 S として移行し、透過型ホログラムの場合には

z

=

t

の面から射出する。

従って、

θ

は小さい角度で有り、干渉縞の法線方向を表す

φ

はπ/2 が近い値であれば

(図 1)本連載 68 回より、





cos B

cz

R (68-9.1)





coscos B

K

B

cz

S (68-9.2)

なので、光波は右側に進行し、Cs > 0 であって、

1)0( R 、0)0(



S （1）

従って前回(1)(2)式、

    

zrzrzR

2211

expexp





（69-1）

    

zszszS

2211

expexp





（69-2）

より、

1

21

 rr

(2A)

0

21

 ss

(2B)

となる。

ところで、前回(4)式は、





111 risicS



















222 risicS















と書けるので、これら 2 式の辺々を加えて











21212211 rrississcS



















従って(2A)(2B)式より、







isscS





2211 (3)

となる。

ここで、

2

1

2

24

2

1

2

1













































SRSSRSRS

mccc

i

ccc

i

cc





(69-8)

であって、m=1 は 2 重根号の正、m=2 は負の場合を表しているので

HG





1



HG





2



と置いて、(3)式に代入すれば





iHsGsHsGscS









2211 (3)

(2B)式より、





iHsscS





21 (3)

Hc

i

ss

S





 11



21

1









S

c

i

s (4)

が得られる。ここでの s1,2 の値を(69-2)式に代入すると、

 

 

tt

c

i

tS

S

12

21

expexp







 (5)

と言う、ホログラム透過後の光波の複素振幅を表す式が得られる。

2. ホログラムの回折効率

ホログラムの回折効率ηは参照光の強度を

I

0、再現光の強度を

I

1とした時、

0

1

I





(6)

で定義される。よって、z 軸方向への効率としては再現光と参照光のベクトル

σ

と

ρ

の方向

余弦はそれぞれ、









cos:

coscos:

B

KB

z



と表わされるので(図-1)、従って再現光の複素振幅を S として（変数右肩の＊は複素共役を

表す。）、





SS

B

KB









cos

coscos

上式右辺分子が負になる場合も想定して





SS

B

K







cos

coscos

(7)

と出来る。ここで、上記の(68-9.1)(68-9.2)式の関係から,



SS

c

R

S



(8)

となる。

次回以降では上記(69-8)式を(5)式に代入して再生信号光の透過後の複素振幅を得た

後、回折効率を表す(8)式を利用して、透過型ホログラムの回折効率を求めて行くこととす

る。

３．参考文献

[1] Kogelnik, Bell Sys.Tech. J., 48, 2909 (1969).

[2] M.Born & E.Wolf :Principles of Optics,6th edition(Pergamon Press,

Oxford,1993)／草川徹、横田英嗣訳：光学の原理（東海大学出版会,1977).

[3] J.W.Goodman：フーリエ光学 / 尾崎義治、朝倉利光訳（森北出版、東京、2012）

[4] 辻内順平：ホログラフィー（裳華房、東京、1997）

[5] P.Hariharan:Optical Holography Principles,techniques and applications,2nd.edi. (Cambridge

University Press,Cambridge,1996)

[6] 辻内順平：光学概論Ⅰ（朝倉書店、東京、1979）

[7] 三好旦六：光・電磁波論（培風館、東京、1995）