光学設計ノーツ 75

アイコナール方程式の導出について

はじめに

前回は光線の構造を検討することから経てアイコナール方程式を導いた。今回はさら

に話を進めさせて戴きたい。アイコナールとは実距離に屈折率を乗じた光路長の事である

が、フェルマーの原理に基づき、こうしたアイコナールの変化の仕方を定式化することは光

学系の解析には非常に重要で、有用である。

１．結像の余弦則からアイコナール方程式を導く

前回光学設計ノーツ第７４回において、光線の方向を表す単位ベクトルを

ｉ

ｉ’

として，

方向余弦を（L,M,N），（L’,M’,N’）とし，微小な変化 rd



：（

dx, dy, dz

）, rd 



：（

dx’, dy’, dz’

）

とした場合，内積を用い，本連載第７３回(4)式、





sinsin'' ndrdrnAABB











 (73-4)

が導けた。補足説明させていただけば、物体と像の距離、角度α、α‘以外は微小量の前

提があるので近軸理論内で扱ってよいのであるが、像界での２光線の為す角度については

無視できるかどうかの検討はやや込みいる（図 1）。そこで偽経路 BPQB’を設定してこの

光路長と、真光線 BB の光路長の差が 2次以上の微小量になると言うフェルマーの原理を

直接用いて

 





'' APQABPQBAABB

























AQAPQBBP







' (73-2)

とシンプルに表現できた。あとは近軸領域内での処理で(73-４)式が導けたわけである。

図1 アイコナール差を求めるための図

さて、（73-4）に於ける左辺の光路長（アイコナール）の差を

= [BB’] －[AA’]として，

(73-4)式を 3次元に拡張した。光線の方向を表す単位ベクトルを

、線状の物体を立体的に

ベクトル

ｒ

で表わせば、













 （１）

なので、





 cos''cos srnsrndV 

（2）



'' srnsrn  





従って成分で内積を表現すれば、

 

'''''' dzNdyMdxLnNdzMdyLdxndV 





(74－18)

が得られる。そしてこの式を各成分毎に微分して、

V











,,

(74-19)

V























,,

と出来きた。

さらに、それぞれを 2乗して物界と像界ごとに加えれば、

V















































(74－20)

V























































(74-21)

として、アイコナール方程式と呼ばれるものが得られる。

ところで、改めてみるとアイコナール方程式の基となる(74-19)式は一体何を表してい

るのだろうか？

というのは点 Aが微小距離移動し点 Bと成り、それに伴い像平面上の通

過点も A’から B’に移動して、その場合の光路長（アイコナール）の変化を表している。物

界で

方向に点光源が微小変位した場合の光路長の変化量は、光線進行方向の方向余弦に

屈折率を乗じたものに等しい。

この結果は本連載第 42 回の物界と像界の点が其々共役関係にある場合の光学的余弦則

からも導くことが出来る（図 2、角度φとαは(1)式の関係にあるので、下記(42-1)式と

（73-4）式はそもそも全く同じで式ではあるが）。第 42 回（１）式、





coscos ndrrdnAAPP











 （42-１）

は直ちに(74-18)式に連なる。諸元は以下の図の通りである。

図2 共役結像の場合に、光学的余弦則を考える。

ここまでの余弦則の考察は 2次元面内であったが、3次元的のも同様の考察が可能である。

Z軸方向については本連載 17,18 回でも触れている。従って、距離を表す線分 dr も立体的

に（dx,dy,dz）と置けて、角度Φは x,y,z 軸からの角度（α、β、γ）に置き換えれば(図3)

光路長を表す（４２－1）式は成分ごとに



coscos ndxxdndV









coscos ndyydndV







（3）



coscos ndzzdndV







と書ける。

ここで、物界の Bの位置のみ変化した場合を考えよう。本来は同じ角度で Bが変化すれ

ば一般的には B’の位置も変わってしまうのだが、Bからの光線角度を微妙に調整すれば B’

を不動とすることは可能である。この微調整角度は極微小な角度と成るので無視できる。す

ると、上記（3）式から、



cos,cos,cos n

dV 

(4)



















cos,cos,cos n

Φ’

が得られる。偏微分の表記と方向余弦を用いれば(74-19)式とまったく同じになる。つまり、

当然のことではあるが（74-19）式は、(73-4)式、或いは（42-1）式で表される内容を原因の

要素に分解して表示したものに過ぎない。なにより(73-4)式、（42-1）式は幾何光学において

重要であって、(74-19)式はそれを基に光学系の働きの理解を進めるための表現である。

図３立体的な角度の表示

Ｙ

Ｘ

２．参考文献

1) 松居吉哉：収差論（JOEM，東京，1995）.

2) A.Walther: The Ray and Wave Theory of Lenses

(Cambridge Univercity Press,Cambridge,1995)

3) W.T.Welford:Aberration Of Optical Systems (AdamHilger, Bristol,1986)

4) M.Born & E.Wolf : 光学の原理Ⅰ，第 7版／草川徹訳（東海大学出版会,2005)

5) 牛山善太，草川徹：シミュレーション光学（東海大学出版会，東京，2003）