光学設計ノーツ 78 ver.1.1
平面波の表現について
前回において平面波合成により完全結像のための条件が導けたが、今回はその最も基礎
になるところで、3次元空間における平面波そのものについて改めて考えさせて戴きたい。
１． １次元的平面波
最もシンプルで基本的な波動のひとつが、正弦波である。この正弦波が、ｚ方向に速度ｖで進行
する場合は、
(
)
(
)
[
]
φ
+
−
=
vtzkAtzu cos,
－(1)
と表わされる。波動の揺れ、変位の最大値 Aを振幅、中括弧内を位相と呼ぶ。また、明らかに正弦
波は周期を持っている。そこで空間的な１周期を波長λ、時間的な周期を周期 T で表わす。
v
T
λ
= －(2)
ｋ
は波数と呼ばれ、波動が単位距離進行する時に変化する位相角度であり、
λ
π
2
=k －(3)
と表わされる。φは初期位相の項であり、空間座標ｚと時間座標ｔの原点を適当に選べば０にするこ
とができる。また、周波数ｆを用いれば、
λ
v
T
f== 1 －(4)
単位時間に変化する位相角度を角周波数ωで表わし、
T
π
ω
2
= －(5)
また、
f
π
ω
2
=
－(6)
真空中の光速をｃとすれば、ここまでのｖは任意の媒質中の速度であるとすれば、ｃとｖの比がそ
の媒質の屈折率となり、
v
c
n= －(7)
周波数ｆは不変であるので、
0
λλ
c
n
c
f==
よって、
0
λ
λ
=
n
－(8)
となる。
波動の位相が等しい点を連ねた面を等位相面、或いは波面と呼ぶ。(1)式により表わされる波動
はｚ方向へ進行する１次元的波動であるが、z軸に垂直な平面を等位相面として持つ波は総べて
(1)式にて表わされる。この様に、波面が平面の波動を平面波と呼ぶ。波動は一般的に波面に垂
直な方向に進行する。
２． ３次元空間における平面波
ここで、2次元、或いは 3次元空間を伝播する平面波の記述について考えよう。図１に示した様
に、ｘ軸とθの角度を為す方向に進行する正弦平面波を考えよう。
新たに波動の進行方向に X軸、波面上に Y軸を持つ新座標系を考えると、初期位相項を０とおい
て、
ω
λ
λ
π
=⋅=
T
kv 2
なので、(1)式より、
(
)
(
)
tkXAtYXu
ω
−
=
cos,,
－(9)
この式をｘ－ｙ旧座標に変換すると、
(
)
(
)
[
]
tyxkAtyxu
ω
θ
θ
−
+
=
sincoscos,,
－(10)
ここで、波数ｋを考えると、これは新 X軸上で単位距離、波動が進行する時に変動する位相角を表
わすので、方向（波動進行方向、この場合 X軸方向）と量を持ったベクトルと考えることができる。こ
れを波数ベクトルと呼ぶ。
改めて波数ベクトルの絶対値をｋと考えて、旧ｘ－ｙ座標上における成分表示をすれば、
x
y
X
Y
θ
平面波の進行方向
図１ ２次元的平面波
(
)
(
)
θθ
sin,cos, kkkkk
yx
==
v
－(11)
よって、(10)式は、
(
)
(
)
tykxkAtyxu
yx
ω
−
+
=
cos,,
－(12)
この(12)式を３次元空間における波動の表現に拡張することは容易で、図２における場合、
(
)
(
)
tzkykxkAtzyxu
zyx
ω
−
+
+
=
cos,,,
－(13)
この場合、
(
)
(
)
γβα
cos,cos,cos,, kkkkkkk
zyx
==
v
－(14)
である。また、任意の座標（ｘ、ｙ、ｚ）の位置ベクトル
r
v
を考えると、波動の進行方向を表わす波数
ベクトルとの内積は、成分計算をして、
zkykxkrk
zyx
++=⋅
v
v
よって、(13)式は、
(
)
(
)
trkAtru
ω
−⋅=
v
v
v
cos,
－(15)
と表現することができる。
さらに、(14)式の方向余弦を用いると、(8)式より、
( )
γβα
λ
π
coscoscos
2
0
zyxnrk ++=⋅ v
v
－(16)
とすることも可能である。
３． 平面波上の偏光について、偏光の基本的な考え方
こ こ ま で 詳 し い 説 明 も 無 く 、 偏 光 と い う 言 葉 を 用 い て 来 た が （ 本 連 載 第 二 回
等 に お い て ） 、 こ こ で 、 改 め て そ の 基 本 的 な 部 分 い つ い て 説 明 さ せ て 頂 く 。
こ れ ま で 述 べ さ せ て い た だ い た 様 に 光 は 、 電 場 と 磁 場 の 振 動 か ら な る 電 磁 波
の 一 種 で あ り 、 そ の 性 質 は 電 場 ・ 磁 場 に 対 す る マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 か ら 理 解
す る こ と が 出 来 る 。 こ こ で 、 波 動 方 程 式 の 解 の 一 つ で あ る 、 平 面 波 に お け る 電
場の正弦振動を考えれば、図 2.5(a)(b)にある様に電場の振動は、特定の 1平
面 内 に 留 ま る 場 合 ば か り か 、 進 行 方 向 を 示 す 座 標 軸 を 中 心 に 様 々 な 方 向 に 連 続
的 に 変 化 （ 回 転 ） す る 可 能 性 が あ る 。 こ の 様 な 光 波 の 振 動 の 方 向 の 偏 り を 偏 光
と呼ぶ。
γ
α
β
k
kx
ky
kz
x
y
z
x
y
図２ ３次元的平面波
図 3(a) 直 線 偏 光
図 3(b) 円 偏 光 、 楕 円 偏 光
光 波 の 振 動 が 進 行 方 向 か ら 見 て 描 く 軌 跡 が 直 線 の 場 合 を 直 線 偏 光 、 円 の 場 合
を 円 偏 光 、 そ の 他 の 一 般 的 な 場 合 を 楕 円 偏 光 と 呼 ぶ 。 こ れ ら の 波 動 は 進 行 方 向
軸 を 含 み 直 交 す る ２ 平 面 上 の 別 々 の 波 動 の 合 成 と し て 表 現 す る こ と が 可 能 で あ
る（図 4(a)(b)） 。
z
y
x
x
y
図 4(a) 直 線 偏 光 と そ の 成 分
図 4(b) 円 偏 光 と そ の 成 分
x-z 面、y-z 面上の正弦波振動する 2成分の電場を以下の様に表現する。
, =
cos − －(17)
z
y
x
, =
cos − + －(18)
i
,
j
はそれぞれ x軸方向、y軸方向への単位ベクトルである。δは二つの波動の相対位相差
を表している。この 2成分が代表する波動はベクトル的に、
＝
+
－(19)
と表すことが出来る。
ところで、ここで平面波とは、単波長の光波、波連が無限に続く状態を考えている。し
たがって、その上で様々な偏光状態を想定したとしても、その成分である進行方向に直交し
て振動する２成分に分解して考えれば、それら波動は、一定の周波数を持ち波連は途切れな
いので、平面波は完全な一定の偏光状態にあることになる。
参考文献
１) M.Born & E.Wolf :Principles of Optics,7th edition(Pergamon Press,
Oxford,1993)／草川徹訳：光学の原理（東海大学出版会,2005)
２) 辻内順平：光学概論Ⅰ（朝倉書店、東京、1979）
３) 谷田貝豊彦：光とフーリエ変換(朝倉書店、東京、1992)
４) E.Hecht:Optics 5th.edi.(Pearson,Harlow,2017),p344
５) 牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス、東京、2005）p.36
