光学設計ノーツ 80
多数の波動による干渉、波動の合成の考え方
前回に引き続いて干渉について考えさせていただきたい。特に多数の光波が重なり合
い、干渉する場合の定式化について整理・説明させていただく。
1． 多くの光波による干渉の式
ここで、多くの光波による干渉について再び考えてみると、本連載 79 回では多数
（
m
個）の光波の合成の場合には干渉による強度
I
は以下の様に表現することが可能であ
った。（εについては本連載前回 79 回の(16)式をご参照願いたい。）
= ∑
cos
(1)
= ∑
sin
(2)
とした場合、
=
+
(3)
と強度
I
が表わされる。２成分に分けて考えれば
=∑
cos
+∑
,
cos
cos
(4)
(79-15)
=∑
sin
+∑
,
sin
sin
(5)
である。ここにΣ’は
j
＝
k
の場合を除くことを意味している。
因みに m＝2の２光波の場合を考えてみると、
=
cos
+
cos
=
1
2
cos
2
1
+
2
2
cos
2
2
+ 2
1
cos
1
2
cos
2
(6)
=
sin
+
sin
=
1
2
sin
2
1
+
2
2
sin
2
2
+ 2
1
sin
1
2
sin
2
(7)
となり、それぞれ(4)(5)式の結果と一致する。
また、強度を考えると、
+
=
+
+ 2
cos
cos
+ sin
sin
=
+
+ 2
cos
−
(8)
となり、ω1=ω2とした場合の本連載 79 回(6)式からの
(
)
1221
2
2
2
1
cos2
ϕϕ
−++= AAAAI
(79-10)
と同じ形になる。
2. 干渉の元々の表現
元々、合成された振幅
u
は正弦波の合成として以下の様に表現できた。
= ∑
=∑
sin +
+
(9)
= ∑
{sin +
cos
+ cos +
sin
}
＝∑
cos
・sin +
+ ∑
sin
・cos +
(10)
ここで（１）（２）式にある様に
= ∑
cos
= cos (1’)
= ∑
sin
= sin (2’)
と新たな時間変化に対して一定な、波動を便宜的に考えた場合（ここでの新たな波動式の ch
直感的イメージは掴みにくい。しかし、それぞれの単独波動の振幅と位相のみにより、合成
されて決まる、新たな波動が表されていることには違いないので（１’）（２’）の様に表現
可能である。また、そこから A、εが得れることに大きな意味がる。波動の合成を考える場
合には重要な考え方である。）、
= cos ・sin +
+ sin・cos +
(11)
或いは
= ・sin +
+ ・cos +
(12)
である。これら基本波動に時間、初期位相による係数が乗じられて、折々の振幅が決まる。
その（１１）式より、三角関数の性質から
u
の最大値は Aである。よって時間に対して不
変な、ここで考えている干渉による最大振幅は（１’）（２’）式における Aによって表され
ることになる。従って、時間に依存しない構造における最大強度は、
+
= cos
+ sin
=
(12)
と、(3)式の通りである。本連載前回 79 回の（１５）式、以下(79-15)式と表そう、もこの考
え方の上に成立している。
また、この時の位相εは、以下の関数から求められる。
tan =
∑
%%
sin
%
∑
%%
cos
%
(13)
さてここで、(79-15)式をさらに整理して行くと、
+
=∑
cos
+∑
,
cos
cos
+∑
sin
+∑
,
sin
sin
(14)
右辺、第１、3項はまとめて
∑
cos
+∑
sin
=∑
cos
+ sin
(15)
と、出来るので
+
=∑
+∑
,
cos
cos
+∑
,
sin
sin
(Σ’は
j
＝
k
の場合を除くことを意味している。)
=∑
+ 2 ∑ ∑
cos
cos
&
'
+
sin
sin
=∑
+ 2 ∑ ∑
cos
cos
&
'
+ sin
sin
=∑
+ 2 ∑ ∑
cos
−
&
'
(15)
と表せる。
3. 参考文献
１）久保田広：”応用光学”、（1989、岩波書店、東京）,p75
２）牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス、東京、2005）
３）E.Hecht:Optics 5th.edi.(Pearson,Harlow,2017),p291-293
