光学設計ノーツ 81_2
ホイヘンスーフレネルの回折積分について 1
これまでにキルヒホッフによる、回折積分計算等には触れさせていただいた。
今回は、より回折理論を直感的に表すホイヘンスーフレネルの回折の考え方について、改め
て整理させていただきたい。ここでは主に参考文献１）を参考にさせていただいている。
１． 光波の合算
点Qから発した光波が絞りに達し、さらに像面（スクリーン）に達しているとする
（図 1）。この時の像面上の点 Mにおける、光の強さを求めようとすることが、結局、今回
の課題である。Qを出た球面波は絞り Sのところに達し、この時の波面を Wとしよう。絞
りの中心 OとQを結ぶ線を Z軸とし（一般的には光軸）像面は光軸に垂直で、光軸との交
点を Q’としよう。QとOの距離を a、OとQ’の距離を bとする。
図1
ホイヘンスーフレネルの理論の言わんとすることは、ここでの波面 Wを無限に細い領域
に分けて（波面を同心円状の非常に細い面積に分割していっても良い）、それぞれの領域か
らMに及ぼす波動的影響を計算し、その代数和を得れば Mにおける振幅が得られると言う
ことである。
さて仮に点光源 Qからの半径 1の波面上の波動を
Q Q'
W
M
P
a
b
y
z
と表せば、波面 W上では距離に反比例して振幅は減り（強度は距離の２乗に反比例する）、
位相（角度・ラジアン）は２πa/λ、遅れたものになる。従って
(1)
となる。さて、ここから波面 W上の P点付近の微小面積
dw
について考える。Pから Mの
距離を rとする。すると
dw
の齎らす Mにおける振幅
A
は
(2)
と表せる。
k
はここでは詳しくは触れないが波面の法線と測定方向との角度に依存した補正
量であり、ここではとりあえず 1とおくことにする。
すると、ホイヘンスーフレネルの考え方により、この波面からの Mへの影響は開口内の
微小面積の全影響を合算して以下のように表されえる。
(3)
2. 振幅の計算
ここで、やや荒っぽい近似ではあるが、光軸方向のスケールに比べて、絞り等の
y
軸方向
の構造が十分小さいとすれば、三角関数外の
r
を近似的に
b
と置き積分の外へ出す。これ
は結像光学系におけるような収束波面を考える場合には適切な考え方である。また、振幅の
比のみを考えることとし
A
０/(
ab
)=1 と置こう。すると（３）式は簡単になり、
(4)
と、表せる。
また、簡潔のため全てを 2次元面内（紙面内）で考え、Q’を原点として、OQ’に垂
直に、
y
軸をとる。そして 2点P、Mの座標を以下のように決める。
P（y、z）＝P（ξ、-
b
＋ζ） 、 M（
y
、０）
よって
(5)
さらに
(6)
また、２次元的には Qを中心とする円である波面 Wの式は
（７）
と置けるのでξ2＝ の形にして（６）式に代入して整理すれば
(8)
と出来る。また、（７）式より
!
ζは
a,b
の絶対値と比べて非常に微小な値とみなせるので、その 2次の項を無視して考え
れば
"
#
$
（９）
と出来る。この式を（８）式に代入すれば
(10)
さらに
である。ここで 1次近似の関係
% &
'
( % )&
を用いて上式は
(
*
#
+
,
*"
+
$-+"
#
$+
. /
′
/
(11)
と置ける。ここでεはξの関数、ε'はξを含まない積分に関係のない項である。すると（１
１）式から（４）式は以下のようになる。
/0 /
(12)
/0
/
三角関数の加法定理を用いて
1
/023
/ 23
/0
/4
（７）、（９）式から、２次元断面内での、波面上の積分はξを変化させることにより行えること
より、
/023
/ξ 23
/0
/
（１３）
と点 Mにおける振幅
A
が得られる。
3. 参考文献
１）久保田広：”応用光学”、（1989、岩波書店、東京）、p.106
２）牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス、東京、2005）
