光学設計ノーツ 82 ver.1.0
多数の波動による干渉、波動の合成の考え方 2
本連載前々回 80 回において波動の合成について触れさせていただいたが、そこで多数の
正弦波を合成することについて扱った。そのあたりで少し説明不足のところもあった様に
思えるので、今回、少し話は戻るのであるが補足させていただきたい。
１． 多くの正弦波の合成
元々、合成された振幅
u
は正弦波の合成として以下の様に(80 回（10）式)表現できた。
・
・
(80-10)
ここで
(1)
(2)
と新たな時間変化に対して一定な、波動を便宜的に考えた。同一の周波数の正弦波を幾つも
考えた場合には、それらが合算された場合に、その結果も正弦波になるということである。
光波の干渉を考える場合には主に周波数は一定とする。であるからここのところは根本的
なところなので、一応、説明を捕捉させて頂く。
（1）（2）式における多数の光波の位相成分εmを、特定の場所における三角関数の位相
角度をθ、つまり xを位置として、
θ＝
それぞれの光波で値が変化し得る初期位相をφとして、
(3)
と置く。
ここで、先ず 2光波の合成を考えて、波長は同一として以下の式を考えることにする。
(4)
更に
(5)
と置けば、
(6)
と表せる。
さてここで図 1にある様に、直角を挟んで a、bの辺、角度 α、βを持つ直角三角形を考
える。すると
図 1 a、b と角度αの関係
!
"#
$
%!
$
(7)
a
b
α
&
(8)
であり、これらの式をそれぞれ b、aについて解き、（6）式に代入すれば
&
&
(9)
と出来（三角関数の合成公式 4)）、２正弦波の合成は、波長の関数θと初期位相αで表現さ
れる、正弦波になることが分かる。ここで図 1にある通り、
'＝()
*+
,
(10)
である。
2光波の合成を、積み重ねていけば多くの正弦波の合成も同様に考えられるので、その場
合も合成された結果は正弦波となる。図 2に幾つかのランダムな初期位相を持つ、同じ周
波数の正弦波の合成を計算した例を示す。
図 2 正弦波の合成結果 （上）2 正弦波の合成 （下）6 正弦波の合成
それぞれ最大の振幅の正弦波が合成されたもの。横軸は位相角度（度）
また、更に多数の、振幅（0から 1の間に）と初期位相（-180 度から 180 度）をランダ
ムに発生させた正弦波（1,000,000 個）を加え合わせた結果を示す。個々の要素正弦波の最
大振幅の 2乗和は 333、399 であった。
図 3 多数の正弦波の合成結果の正弦波 ここでも横軸は位相角度（度）
２． 参考文献
１) 久保田広：応用光学、（1989、岩波書店、東京）,p75
２) 牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス、東京、2005）
３) E.Hecht:Optics 5th.edi.(Pearson,Harlow,2017),p291-293
４) 岩瀬重雄：高校数学公式活用辞典（旺文社、東京、1994）,p.182
