LED 照明ノーツ 15 ver1.1

レンズを使う 2

＜sinθの近似精度＞

前回から、照明系を形成するときに光学的には最も重要な要素と成るレンズ、或いはミラ

ーの光学的性質、使い方についてできるだけ簡潔に説明させていただく趣旨の“分かり易い

照明光学シリーズ”をスタートさせて戴いた。今回はレンズの齎す理想像点を考えるための

近軸理論の背景となる sinθの近似の精度について考へたい。

１．近軸理論の精度は？

前回お話しさせていただいたガラス、空気などが接する境界面における光線の屈折の方

向はスネルの屈折則、

2211 sinsin





（１）

により計算できる。ここでの正弦関数 sinθは、無限の項数を持つ多項式を用いて

 !5!3

sin



（２）

と表現できた。

因みにこれは sin のテイラー展開（Taylor expansion）であり、一般的な表現は







0!12

sin 









n



（３）

である。

さて、ここで角度θが微小である仮定してしまえば上式は





sin （４）

と簡単になる。スネルの屈折則も

2211





（５）

と非常に簡単な式になる。これらの簡単な式で光線の進み方を考えてしまおう、と言うのが

近軸理論であった。そのとき、前回の図 6（上図）における、収差という煩雑なものは消え

去り、同じく前回図 6（下図）における様な簡潔な体系内で光学系を考えることができる。

さて、それでは実際に(3)式における sinθの近似は、θの値によりどの様に誤差を生むか

考えてみよう。計算結果が下の表である。この中でθは角度であり表左の列は度数である。

しかし(3)式において角度はラジアンという単位で計算しなければならない。その値を 3行

目に記す。(3)式において用いられる値である。(3)式に則り、3次とあるのは、



 （６）

5次とあるのは

!5!3





 （７）

7次とあるのは、

!7!5!3

753





 （８）

としてそれぞれ sinθを近似計算した値である。表 1には直接その計算値を（sinθの値と

比較して戴きたい。）、表 2にはその時の sinθとの差を sinθの値で割った百分率で表して

いる。

θ sinθ θ（rad）3次5次7次

1 0.017452 0.017453 0.017452 0.017452 0.017452

5 0.087156 0.087266 0.087156 0.087156 0.087156

10 0.173648 0.174533 0.173647 0.173648 0.173648

15 0.258819 0.261799 0.258809 0.258819 0.258819

20 0.342020 0.349066 0.341977 0.342020 0.342020

25 0.422618 0.436332 0.422487 0.422619 0.422618

30 0.500000 0.523599 0.499674 0.500002 0.500000

35 0.573576 0.610865 0.572874 0.573583 0.573576

40 0.642787 0.698132 0.641421 0.642803 0.642787

45 0.707107 0.785398 0.704653 0.707143 0.707106

50 0.766044 0.872664 0.761902 0.766120 0.766044

55 0.819152 0.959931 0.812507 0.819299 0.819150

60 0.866025 1.047197 0.855801 0.866295 0.866021

65 0.906308 1.134464 0.891120 0.906779 0.906299

70 0.939693 1.221730 0.917799 0.940482 0.939676

75 0.965926 1.308997 0.935175 0.967202 0.965895

80 0.984808 1.396263 0.942582 0.986806 0.984753

85 0.996195 1.483530 0.939356 0.999239 0.996101

90 1.000000 1.570796 0.924832 1.004525 0.999843

表１ sin の近似計算

θ sinθθ（rad）％ 3 次％ 5 次％ 7 次％

1 0.017452 0.005 0.000 0.0000 0.0000

5 0.087156 0.127 0.000 0.0000 0.0000

10 0.173648 0.510 -0.001 0.0000 0.0000

15 0.258819 1.152 -0.004 0.0000 0.0000

20 0.342020 2.060 -0.013 0.0000 0.0000

25 0.422618 3.245 -0.031 0.0001 0.0000

30 0.500000 4.720 -0.065 0.0004 0.0000

35 0.573576 6.501 -0.122 0.0011 0.0000

40 0.642787 8.610 -0.213 0.0025 0.0000

45 0.707107 11.072 -0.347 0.0051 0.0000

50 0.766044 13.918 -0.541 0.0099 -0.0001

55 0.819152 17.186 -0.811 0.0180 -0.0002

60 0.866025 20.920 -1.181 0.0312 -0.0005

65 0.906308 25.174 -1.676 0.0520 -0.0009

70 0.939693 30.014 -2.330 0.0840 -0.0018

75 0.965926 35.517 -3.184 0.1321 -0.0032

80 0.984808 41.780 -4.288 0.2029 -0.0055

85 0.996195 48.920 -5.706 0.3056 -0.0094

90 1.000000 57.080 -7.517 0.4525 -0.0157

表2 sin の近似計算（％）

15 度くらいまでであれば、なんと sinθをθと乱暴に置き換えてしまっても誤差は 1％程

度なのである。勿論これは一回の屈折についてだけの誤差であり、一本の光線は光学系内で

何回も境界面と出会い屈折する可能性もある。また、光線と面が交わる座標もその都度ずれ

ていくことになり（光線の角度と高さの誤差(図1)、曲面形状の三角関数近似による誤差

(図2) 等も乗ぜられ誤差分布の範囲は急激に増えていくことになり、簡単には誤差は十分

小さいのか？等の議論はできないが、単純に一回の屈折ではこれだけしか、角度の誤差は出

ない。それに続く 3次近似ではさらに誤差は小さくなる。60 度付近まで１％に達しないの

である。5次、7次収差になると、計算は大変になるが、さらに微小な誤差となる。この 3

次近似は精度、計算負荷、計算結果の見通しのバランスが良く、3次収差論という光学設計

においては、1次近似の近軸理論と同様に、非常に重要な収差理論を形成する。以下には表

2の結果の絶対値をとったグラフ（図 3）を示す。縦軸が誤差の％であり、横軸が 0度から

90 度までの角度である。

図3 sin の近似計算（％）誤差絶対値

系列 1,2,3,4 がそれぞれ、1次、3次、5次、7次近似の誤差絶対値を表す。さらに絶対値を

用いない場合は図 4に示す。

図4 sin の近似計算（％）誤差

上図と同様に縦軸が誤差％、横軸が角度である。

-10.000

0.000

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

系列1

系列2

系列3

系列4

これらの計算では夫々の sinθの近似計算の値から sinθの値を引き、sinθで割って、百

分率を求めている。sinθ、θ、そして（6）（7）式の近似計算結果そのものは図 5，6に示

す。二つの図では、計算角度の範囲が異なるだけである。

図5 sin 近似式の計算結果 0から 90 度

図6 sin 近似式の計算結果 0から 180 度

光線追跡的にはあまり意味のない領域ではあるが、θがさらにどんどん増えて行けば、（6）

式第 2項の 3乗の項の絶対値はそれこそ指数級数的に増大し、図 6の3次近似の値は大き

く負の値へと逸れていく。5次近似においてもこの理由により正の 5次の項の影響が大きく

なり、正方向に発散する。当然、sin は-1 から 1の間の周期関数なので、乖離は甚だしくな

って行く。

２．参考図書

１) 小倉敏布：写真レンズの基礎と発展（朝日ソノラマ、東京、1995）

２) 高野栄一：レンズデザインガイド（写真工業出版社、東京、1993）

３) 松居吉哉：結像光学入門（JOEM、東京、1988）