LED 照明ノーツ 19

レンズを使う 6

＜プリズムの最小振れ角について＞

これまで、お話しさせていただいてきた収差の話からは少し脱線するが、今回はプリ

ズムによる光線の曲りについて解説させていただきたい。プリズムと言うものが光学素子

としては非常に一般的なものであるので、光学機器を使い熟すうえで、勿論有用な topic で

あるが、プリズム面の連続としてレンズを考えることにより、レンズの収差発生の原因に

ついて考察する際にも非常に役に立つ知識である。

多少、導出式の部分が多くなったが、意外に単純では無いため、詳しく知りたい方も

おられると思い、記した。不必要な方は、(15)式以降の結果のみご参照ください。

1. プリズムとは

プリズム（prism）とは、光を屈折、或いは全反射させるための光学素子であ

り、硝子、水晶などの透明な媒質により成る、複数の平面により構成された多面体

である。像を回転させたり、あるいは光を分散させたりするために様々な形状のも

のが存在する。

ここでは、その屈折の性質を調べるために断面が図 1 にあるような、三角柱の

最も基本的なプリズム形状を考える。

図 1 プリズムによる分光

さて、硝子の屈折率は、光の波長によって異なるため、そこでのプリズム各平

面での屈折を、これまで度々登場した、スネルの屈折則、

2211 sinsin



nn



（１）

で夫々考えれば、図１にあるように、プリズムを出る光の方向は波長によって変わ

ることになる。光の明るさが色に分かれたものをスペクトルと呼び、この現象を積

極的に用いることをプリズム分光という。

２．プリズムの最小振れ角

プリズムにおける、光線の屈折を細かく検討しよう。図 2 にあるように諸量を

とる。δは最小振れ角（或いは偏角）と言い、プリズムへの入射光と、射出光の為

す角度を指す。プリズム断面形状は二等辺三角形とし、媒質の屈折率を n,その頂角

の大きさをαとする。すると両側の稜面において以下の屈折則が成立する。

21 sinsin



n



（2）

21 sinsin









n （3）

図 2 プリズムによる振れ角について考える。

従って、図 2 より振れ角δは、





2121 --









＋（4）

また、













 22 22 －











22 （5）

よって、(4)式より、







-

11







（6）

となる。

さて、ここで、この振れ角が最小になる場合を考えよう（導出は主に参考文献１）

による。）。そのために、まず(6)式を入射角θ1で微分して、その値が 0となる極値の位置を

求める。

01

1

＝





d



 （7）

11



dd







（8）

さらに、(5)式を入射角θ1で微分すると、

0

1

2

1

2







d

d （9）

22









dd （10）

となる。

(2)式をθ1で微分すれば、

1

2

21 coscos





d

n

2211 coscos



dnd



（11）

さらに、(3)式をθ1で微分すれば、

1

2

1

1coscos



d

n

d







2211 coscos









ndd （12）

が得られる。ここで、(11)式を(12)式で辺々割って、

2

1

cos







 d

d

従って、(8)(10)式より、

2

1

cos







 (13)

となる。この式の両辺を２乗して、sin で表記すると

2

1

2

1

2

sin1













となり、さらに右辺に(2)(3)式を用いて、



































2

1

2

1

2

1

2

1

2

sin

1

sin

1

sin1

n



1

22

1

22

1

2

1

2

sin

sin1













n

n (14)

が得られる。この式を整理して解いていくと、









1sin1sin 2

1

22

1

2



 nn



11







（15）

となる。当然、

22







（16）

でもあって、頂角に対して対称な状態で光線がプリズムに入射し、射出していく場合が最

小触れ角δ0となることが分かる。この時、入射、射出位置の高さは同じなので、二等辺三

角形を考えた場合には、光線はプリズム内部では底辺と平行になる。従って、(6)式より、











10 2 （17）

また、（５）式より、

2





 （18）

であって、(2)式より、

2

1

sin



n

であって、(17)(18)式より、

2

sin

2

sin 0

















n

の関係が得られる。プリズムの頂角が分かり、最小振れ角が測定できれば、硝子の屈折率

ｎが分かることになる。調べたい硝子から図 1、或いは 2 の様な小さなプリズムを作り、屈

折率が測定できる。異なる波長について測定すれば、硝子の分散も測定でき、不明な硝子

も、硝種を推測することが出来る。因みに、精度の良い分光器を用いれば頂角、最小振れ

角は 1 秒以下まで追い込め、屈折率の小数点以下５桁程度までは、一般的に測定可能なそ

うである 2)。

4．参考図書

１）谷田貝豊彦：例題で学ぶ光学入門（森北出版、東京、2010）、P25

２）油大作：通信講座テキスト“光学技術の基礎講座”（トリケップス、東京、1993）、P18